Анализ надежности элементов системы электроснабжения карьеров

Анализ надежности элементов системы электроснабжения карьеров

Введение

Выполнение задач, поставленных перед горнорудной промышленностью, невозможно без дальнейшего увеличения эффективности производства, производительности труда и автоматизации производственных процессов, повышения уровня эффективности горного производства и использования электрооборудования [1, 2].

Рост энерговооруженности труда приводит к увеличению затрат на создание и эксплуатацию системы электроснабжения (СЭС). В связи с этим особую актуальность приобретают вопросы построения оптимальной СЭС не только горного предприятия в целом, но и отдельных его подсистем, решаемые на стадии проектирования, а также вопросы построения моделей надежности СЭС [3, 4].

Применение в проектной практике методов оптимизации, в том числе с использованием искусственного интеллекта, позволит значительно повысить качество проектирования в соответствии с задачами необходимости улучшения проектного дела на основе широкого внедрения в практику проектирования достижений науки [5, 6].

Достигнутый научно-технический прогресс в технике и технологии открытых горных работ (высокая степень концентрации горных работ, эксплуатация крупных глубоких карьеров, неуклонный рост установленной мощности горных машин и электровооруженности труда) ставит в области проектирования электроснабжения карьеров ряд технико-экономических проблем повышения эффективности, требующих неотложного решения.

Эффективность работы СЭС карьеров зависит не только от качества применяемого оборудования [7, 8], но и от правильности принимаемых проектных решений и качества проектной документации. Однако в настоящее время проектирование СЭС осуществляется традиционными методами, разработанными для условий карьеров сравнительно небольшой производительности и глубины. При проектировании недостаточно учитываются сложные взаимосвязи между параметрами системы, электрическими нагрузками и горно-геометрическими, техническими и технологическими параметрами современных карьеров. Расчет электрических нагрузок производится по коэффициентам спроса, а выбор схемы электроснабжения осуществляется на основе технического сравнения ограниченного числа вариантов без учета динамики горных работ и изменения электрических нагрузок, что не может обеспечить выбор ее оптимальных параметров.

При решении технико-экономических задач проектирования электроснабжения проектные институты не могут широко использовать возможности вычислительной компьютерной техники из-за отсутствия алгоритмов, пригодных для специфических условий открытых горных работ. Это практически исключает многовариантные и оптимизационные расчеты, приводит к ухудшению качества и увеличению сроков подготовки проектов при резком повышении объемов проектных работ.

Целью работы является установление оптимальных параметров электроснабжения рудника открытых горных работ (РОГР) горно-обогатительных комбинатов (ГОК), проведение исследований, позволяющих исследовать надежность отдельных элементов СЭС, чтобы в дальнейшем рассматривать безопасность работы в электрических сетях горной промышленности [9, 10].

Анализ существующих схем электроснабжения рудников открытых горных работ

Аварийность отдельных элементов сетей и электрооборудования предприятий зависит от многих возмущающих факторов, от состояния произведенных монтажных и ремонтных работ, разнообразных эксплуатационных условий, их технического состояния и т.д. [11, 12]. Влияние каждого из этих факторов в отдельности бывает нередко незначительно и практически незаметно, но суммарный эффект воздействия приводит к колеблющимся от случая к случаю результатам. Следовательно, показатели аварийности можно рассматривать как некоторую случайную величину, являющуюся предметом изучения математической статистики и теории вероятностей. Исходя из статистического характера явления аварийности и из сущности понятия вероятности некоторого события количественно выражение понятия надежности можно сформулировать следующим образом – надежность – есть вероятность того, что составной элемент или установка в целом будут удовлетворительно работать в течение определенного периода времени. Например, если продолжительность аварийного простоя установки в течение года равна 8,76 ч, то вероятность ее аварии Р = 8,76/8760 = 10⁻³, а надежность Р' = 1 − 10⁻³.

Метод расчета надежности отдельных видов электрооборудования и сетевых устройств

В электрических распределительных сетях и системах повреждение отдельных видов элементов может вызвать простой части или всей установки на время нахождения и ликвидации аварии – время аварийного простоя, или на время нахождения аварии и последующего отключения поврежденного участка – время аварийного отключения [13, 14].

По эксплуатационным данным о продолжительности аварийного простоя и аварийного отключения х основных видов электрооборудования и сетевых устройств, применяемых на карьерах, определены две наиболее важные статистические характеристики: взвешенное среднее аргумента x и стандарт σ_x  .

Сравнение полученных средних значений и стандартов показывает, что значение коэффициента изменчивости k рассматриваемых вариационных рядов сохраняет некоторое постоянное значение с максимальным отклонением отдельных его значений от средней величины до 4 %:

k = σ_i / x_i. (1)

Следовательно, практически для всех выборочных распределений справедливо соотношение:

Полученное соотношение указывает на одинаковую закономерность распределения всех рассматриваемых вариационных рядов и на то, что следует ожидать практически постоянного значения стандарта аргумента преобразующей функции для всех выборочных распределений.

Для выявления закона распределения наблюдаемых частот времени аварийного простоя и времени аварийного отключения на вероятностную бумагу наносят диаграмму квантилей распределения аргументов для некоторых видов электрооборудования (рис. 1).

Рис. 1. Диаграммы квантилей распределения времени аварийного простоя и аварийного отключения экскаваторных кабелей и сетей карьера 

Как видно из диаграммы квантилей, точки значений некоторых функций распределений группируются около кривых, напоминающих логарифмическую кривую.

На рис. 2 на логарифмически вероятностной бумаге изображены новые диаграммы квантилей. Из диаграммы видно, что точки весьма близко группируются около прямых, причем более или менее заметное отклонение точек от прямой наблюдается лишь до 5 % и свыше 95 % квантилей.

Для графической оценки полученных отклонений  значений функции распределения от прямой (рис. 3) проведены кривые допустимых величин аварийных отклонений от теоретической линии при надежности (вероятности) Р = 0,95.

Рис. 2. Новые диаграммы квантилей распределения времени аварийного простоя и аварийного отключения экскаваторных кабелей и сетей карьера

Рис. 3. Кривые допустимых случайных отклонений от теоретической линии при надежности Р = 0,95, 1–1 при n = 100, 2–2 при n > 250

Из рис. 3 видно, что допустимая величина случайных отклонений от теоретической линии значительно больше при значениях Р, близких к 0 или 100 %, чем при значениях, близких к 50 %. Поэтому наблюдаемое заметное отклонение точек значений функций распределения от прямой до 5 % и свыше 95 % квантилей (см. рис. 2) не может заметно изменить закона выборочного распределения. Кроме того, число наблюдений в указанных пределах не превышает 10 % от объема выборки. Сравнение кривых допустимых величин случайных отклонений от теоретической линии с полученными отклонениями значений функции выборочных распределений от прямой показывает, что последние находятся внутри допустимых границ случайных отклонений при Р = 0,95 и n > 250. Следовательно, время аварийного простоя и время аварийного отключения как при повреждённых экскаваторных кабелях, так и при авариях карьерных сетей, распределено по логарифмически нормальному закону. Согласно результату графического анализа выравнивание выборочных распределений производится по уравнению:

где Ф(u) – функция распределения; u_i – аргумент преобразующей функции; u – среднее значение преобразованного аргумента; σ_u  – стандарт преобразованного аргумента.

Результаты аналитической оценки расхождения между выборочными и теоретическими частотами: λ₁ = 0,307 и Р₁ = 0,999; λ₂ = 0,818 и Р₂ = 0,52; λ₃ = 0,448 и Р₃ = 0,987; λ₄ = 0,942 и Р₄ = 0,365 (индексы Р и λ соответствуют номерам линий, приведенных на рис. 1, 2). Случайные значения λ, которые больше или равны наблюдаемым значениям, могут встретиться с вероятностью большей, чем 0,365, т. е. различие между теоретическими и выборочными распределениями незначительно. Аналитическая проверка подтверждает выводы, полученные графическим анализом.

Наклон прямой к оси абсцисс диаграммы квантилей при логарифмически нормальном распределении определяется значением стандарта аргумента преобразующей функции.

Из диаграммы квантилей (см. рис. 2) видно, что величина стандарта преобразованного аргумента для всех распределений имеет весьма устойчивый характер, так как все прямые диаграммы находятся внутри незначительно удаленных друг от друга двух прямых.

Среднее значение стандарта преобразованного аргумента всех рассматриваемых распределений равно σ_u = 0,347. Максимальное отклонение отдельных его значений от средней величины составляет 20,1 %, чем можно пренебречь и в первом приближении принять σ_u = 0,347 = const (σ_u = lg u₆₀ – lg u_15,9, где u₆₀, u_15,9 – соответственно 60 % и 15,69 % квантили.

На основе подобных анализов, произведенных для всех основных элементов схем электроснабжения карьеров, установлено, что:

1. Время аварийного простоя и время аварийного отключения подчинено логарифмически нормальному закону.

2. Стандарт аргумента преобразующей функции практически сохраняет постоянное значение.

При логарифмически нормальном распределении имеет место соотношение:

M(lg u) = lg ε, (4)

где М(lg u) – математическое ожидание логарифма наблюдаемого аргумента; lg ε – среднее значение преобразованного аргумента.

Величина lg ε является медианой Ме в распределении преобразованного аргумента, а квантили преобразованной величины совпадают с преобразованными квантилями первоначальной величины, если только преобразование осуществляется неубывающей функцией. Следовательно, величина ε должна быть равна медиане в распределении х. Медиана же меняется, если любые значения аргумента меньше медианы изменяются как угодно, оставаясь при этих изменениях меньше Ме. Это свойство медианы и то обстоятельство, что вероятности появления определенного числа наблюдений слева и справа от медианы равны между собой, позволяют использовать их для определения средних значений аргумента при относительно незначительных объемах выборки.

На основе известного соотношения:

можно записать:

По полученному равенству можно определить среднюю величину значений рассматриваемых параметров аварий и произвести практически ее точную оценку при весьма незначительных объемах выборки, даже при n = 25–25. При этом полученные значения средних величин находятся в пределах доверительных границ, определяемых точностью 0,15 от средней величины, определенной при объемах выборки, превышающих 150–200, и имеющих надежность, практически равную значению 0,9. Средние величины, определенные с такой точностью и надежностью, вполне применимы как исходные данные для определения количественных показателей надежности электрической сети.

Проведенные анализы показывают, что годовые продолжительности аварийного простоя электрооборудования карьеров также распределены по логарифмически нормальному закону и значения стандарта преобразованного аргумента имеют отклонения, не превышающие 20 % от определенного среднего значения стандарта σ_u = 0,347. Следовательно, время аварийного простоя отдельных видов электрооборудования и сетевых устройств в год также можно вычислить предложенным способом, не определяя их среднюю повреждаемость в год с последующим умножением на среднюю продолжительность аварийного простоя. Для определения показателя надежности схем электроснабжения необходимо знание и третьего параметра аварии – среднего значения количества аварий в год отдельных видов электрооборудования и сетевых устройств.

Определение арифметической средней числа аварий не представляет затруднений, но определение статистической средней, необходимой для вычисления количественных показателей надежности, сопряжено с некоторыми затруднениями (трудностями), связанными с необходимостью учитывать степень влияния возмущающих факторов на значения параметров аварий.

Отдельные значения параметров аварий, обладающие общим средним уровнем, отклонения от которого оказываются случайными, составляют однородную совокупность. В этом случае значение их средней арифметической является средней в статистическом смысле и, выражая средний уровень, обобщает случайные отклонения. Если часть их возмущающих факторов вызывает систематическое отклонение значений параметров аварий от некоторого уровня, наряду со случайными величинами, то она создает новый уровень (средний), образуя тем самым разнородную совокупность. Арифметическая средняя теряет познавательный смысл при попытках использования ее для характеристик значений параметров аварий, составляющих разнородную совокупность, так как невозможно каким-либо показателем выразить не существующий в разнородной совокупности средний уровень. В этом случае для получения статистической средней необходимо разнородную совокупность расчленить на однородные и затем определить среднюю величину для каждой однородной совокупности параметров аварий и, если есть в этом необходимость, то установить форму и меру корреляционной связи между значениями параметров аварий и возмущающими факторами.

Математическая статистика дает ряд методов установления однородности (или разнородности) совокупности значений случайной величины. При анализе данных аварийной статистики электрооборудования наиболее приемлемым является метод сравнительной оценки двух выборочных средних по сравнению с методом сравнения эмпирического распределения с нормальным или методом скользящей средней.

Сущность рекомендуемого метода применительно к обработке данных об авариях заключается в том, что по данным выборки при определенной совокупности возмущающих факторов определяется значение x₁. После исключения из совокупности факторов те факторы, влияние которых на образование среднего уровня выясняется, производится новая выборка и также определяется средняя x₂. Затем определяется критерий:

По найденному значению t и по числу степеней свободы k по таблице вероятностей распределения Стьюдента находится вероятность Р, с которой можно ожидать значение t численно равным или большим, чем наблюдаемое (вычисленное) значение. Если при этом Р > 0,95, сравниваемые средние различаются незначительно и значения параметров аварий образуют однородную совокупность. Число степеней свободы определяется как число не зависящих друг от друга значений параметров аварий. Если для некоторой выборки объема n₁ значения параметров аварий должны удовлетворять h условиям, связывающим их, то число степеней свободы равно: k = n₁ – h.

Показатели аварийности

Обработанные на основе данных аварийности электрооборудования [15, 16] рудничных подстанций и сетевых устройств карьера приведены в табл. 1.

Таблица 1

Аварийности электрооборудования рудничных подстанций и сетевых устройств карьера

Соотношения между надежностью схемы и ее элементами

С использованием положений теории вероятностей и приведенных в табл. 1 данных получены соотношения между надежностью схемы, отдельных ее цепей и элементов при различных способах соединения:

– при последовательном соединении авария каждого элемента вызывает нарушение работы всей установки и потому: Р' = 1 – Σp_i, Р" = Σp_i;

– при параллельном соединении перерыв в электроснабжении может произойти лишь при выходе из строя всех параллельных цепей, поэтому: Р' = 1 – p₁p₂, Р" = p₁p₂;

– при смешанном соединении:

Р' = (1 – p₁p₂) ⋅ (1 – p₃), Р" = p₁p₂ + p₃,

где p_i – вероятность аварий отдельных параллельных цепей и элементов схемы; p₁, p₂ – вероятность аварий отдельных параллельных цепей и элементов; p₃ – вероятность аварий последовательной цепи или элемента при смешанном соединении; Р', Р" – надежность и вероятность аварии схемы.

При выводах аварийности отдельных элементов и цепей схемы рассматриваются как события, не зависимые друг от друга.

Влияние надежности защиты на надежность схемы

Исходя из сущности понятия вероятности некоторого события для определения вероятности неправильного действия защиты p₃ необходимо за число всех случаев, принадлежащих к некоторому определенному плану стохастических испытаний, принять какое-либо определенное количество срабатываний защиты S, а за число случаев, благоприятствующих неправильному действию защиты, – статистическую среднюю количеств неправильного действия защиты m при принятом числе срабатываний, т.е.:

p₃  = mS. (8)

Продолжительность простоя системы шин Т при неправильных действиях защиты p₃ можно определить из выражения:

T = np₃t, (9)

где n – общее число аварий на отходящих от шин фидерах; t – статистическая средняя продолжительность простоя шин при неправильном действии защиты.

Влияние работы защиты на надежность схемы определяется из выражения:

P_n = T/8760 = np₃t/8760. (10)

Методика анализа схем по надежности

При оценке электрических схем по надежности особое место занимают сборные шины подстанций (п/ст) и распределительных пунктов (РП), показатели надежности которых зависят не только от аварийности самих сборных шин, но и от количества аварий на отходящих от них фидерах и работы защит. Так, на вероятность перерыва электроснабжения потребителя А (рис. 4) влияет не только авария цепи, по которой передается энергия, но и авария на других отходящих от шин 2 фидерах.

Рис. 4. Расчётная схема электрической сети

Рис. 5. Расчетная схема из последовательно соединенных элементов

Поэтому сборные шины 2 (см. рис. 4) с отходящими от них фидерами необходимо заменить другим условным элементом, например, элементом с аварийностью, равной сумме аварийности шин и вероятности совпадения аварий на фидерах с неправильной работой защит. Тогда для определения вероятности перерыва электроснабжения потребителя А получим расчетную схему из последовательно соединенных элементов (рис. 5), из которой:

P_A =Σp_i,    (11)

где p_i – вероятность аварии отдельных элементов расчетной схемы.

При определении вероятности аварии условного элемента Ш для другого приемника, например Б, число аварийных отключений отходящих фидеров может быть несколько отличным, чем для потребителя А, и обусловлено разностью количеств аварий на фидерах потребителей А и Б. Указанная разность по сравнению с общим числом аварий на отходящих фидерах весьма незначительна, поэтому при практических расчетах ею можно пренебречь и принять вероятность аварии элемента Ш одинаковой для всех приемников (фидеров). Дальнейшее изложение методики определения показателя надежности производим на конкретном примере (рис. 6).

Рис. 6. Пример изложения методики определения показателя надежности

Определяем показатели надежности п/ст 1, 2, 3, 4 и всей сети, если:

I вариант

1. Вероятность аварий связей между подстанциями равна а, б, в, г, д.

2. Мощности приемников п/ст 1, 2, 3, 4 имеют соотношения: N₁ : N₂ : N₃ : N₄ = 2 : 3 : 5 : 2.

3. Пропускная способность связей равна: N_A–1 = = N_A–3 = N₁ + N₂ + N₃ + N₄, N_1–2 = N₂ + N₃ + N₄, N_2–3 = N₁ + N₂.

4. Надежность работы подстанций равна 1, защита на всех подстанциях работает идеально.

Для п/ст 4 аварийность участка схемы от районной п/ст А до п/ст 3, имеющего две параллельные ветви с вероятностями аварий б, а + в + г равна: б(а + в + г). Следовательно, рассматриваемую схему для п/ст 4 можно заменить схемой, показанной на рис. 7, откуда вероятность перерыва электроснабжения п/ст 4 равна: Р₄ = б(а + в + г) + д.

Вероятности перерыва питания п/ст 1, 2, 3 соответственно равны: а(в + б + г), (а + в) ⋅ (б + г), б(а + в + г) .

Рис. 7. Замена схемы рис. 6

II вариант

Изменим условие 3 и примем, что N_A–1 = N₁ + N₂ + N₃ , N_A–3 = N₁ + N₂ + N₃ + N₄, N_1–2 =  N₂ + N₃, N_2–3 = N₁ + N₂.

Вероятность перерыва питания п/ст 1, 2, 3 при этом не изменяется, но существенно меняется вероятность аварии схемы по отношению к п/ст 4, так как связь А–1–2–3 к п/ст 3 при аварии связи А–3 не в состоянии по мощности питать энергией п/ст 4. Вероятность перерыва электроснабжения п/ст 4 определяется аварийностью связей А–3 и 3–4 и равна: Р'₄ = б + д.

Таким образом, одна и та же схема при одних и тех же потребителях в зависимости от мощностей отдельных участков схемы имеет различные показатели надежности.

III вариант

Изменим условие 2 и примем, что N₁ : N₂ : N₃ : N₄ = 5 : 1 : 2 : 4.

Значения вероятностей перерыва электроснабжения отдельных п/ст не изменяются, но меняются мощности приемников каждой п/ст, кВт ⋅ ч. Поэтому изменение соотношений между мощностями п/ст рассматриваемой схемы изменяет продолжительность простоя приемников всей схемы. Из сказанного следует, что сумма вероятностей перерыва электроснабжения отдельных п/ст (приемников без учета их мощностей) не может являться показателем надежности всей схемы. Учет мощностей п/ст (приемников) может быть произведен, если вероятность перерыва электроснабжения п/ст привести к одной и той же мощности, например, к суммарной мощности всех п/ст, путем умножения их на соотношение мощностей отдельных п/ст к их суммарной мощности. Полученные в результате приведения новые значения вероятности перерыва электроснабжения отдельных п/ст, имеющие одинаковую значимость с точки зрения продолжительности простоя приемников, позволяют преобразовывать рассматриваемую схему в однолинейную схему с одним условным приемником, мощность которого равна сумме мощностей всех п/ст (приемников).

Преобразование согласно условиям рассматриваемых вариантов схемы приведено на рис. 8.

Рис. 8. Преобразование согласно условиям рассматриваемых вариантов схемы

Результаты подсчетов вероятностей перерыва электроснабжения всех приемников схемы в предположении, что а–б–в–г–д равны:

I вариант – 3 1/4a² + 1/6a.

II вариант – 2 3/4a² + 1/3a.

III вариант –  3 1/12a² + 1/3a.

Таким образом, анализ схем по надежности следует производить в следующем порядке:

1. Шины подстанций и РП заменить условными элементами Шi, вероятность аварии которых определяется суммой вероятности аварий самих шин и вероятности совпадения аварий на отходящих фидерах с неправильной работой защит.

2. Определить вероятность перерыва электроснабжения каждого приемника (подстанции) с учетом мощностей отдельных участков схемы. При сложных схемах для упрощения расчета преобразовать их в расчетные схемы для каждого приемника (подстанции).

3. Привести вероятности перерыва электроснабжения отдельных потребителей к их суммарной мощности и по приведенным вероятностям составить расчетную схему с одним условным потребителем суммарной мощности.

4. Определить вероятность перерыва электроснабжения всех приемников схемы.

Методы оптимизации систем электроснабжения карьеров

Центральным вопросом при разработке любой подсистемы САПР является определение оптимальных параметров этой подсистемы. Только в этом случае преимущества автоматизации проектирования могут быть реализованы полностью [17, 18].

Разнообразие содержания практических задач, находящее свое отражение в существующих математических моделях, настолько велико, что обычно приходится исследовать многие способы достижения оптимума. Ни один из методов оптимизации не является универсальным с точки зрения применения к любой конкретной задаче, но и не выступает изолированно от других.

Задачу оптимизации математически можно сформулировать следующим образом: имеется функция F нескольких переменных X_n. Эти переменные связаны между собой k-уравнениями или неравенствами вида:

W₁(X₁, X₂, ..., X_n) ≥ 0;

... (12)

W_k(X₁, X₂, ..., X_n) ≥ 0;

где W₁, W_k – некоторые функции переменных X_i (i = 1, 2, …, n).

Требуется найти минимум (максимум) функции F. Можно выделить три направления решения указанной задачи, основанных на применении:

– градиентных методов первого порядка;

– методов второго порядка или так называемых квадратичных методов оптимизации;

– методов случайного поиска.

Наиболее распространенной для решения задач нелинейного программирования является группа градиентных методов, среди которых в первую очередь следует рассматривать метод наискорейшего спуска.

Поиск минимума с помощью метода наискорейшего спуска заключается в последовательном применении для вычисления основных переменных следующего выражения:

где X _j^(k+1)   – уточненные значения искомых параметров на (k + 1) итерации;  X_j^(k) – значение параметров на k-й итерации; h – коэффициент длины шага; ∂Φ/∂X_j^(k) – значения частных производных от целевой функции по основным переменным на k-й итерации.

Значения производных на очередной итерации удобно представлять в виде матрицы.

Коэффициент длины шага можно вычислить по формуле:

Пусть необходимо минимизировать функцию U(Z) с непрерывным градиентом при ограничениях: W(Z) = 0, Z_min ≤ Z ≤ Z_max.

Вектор параметров Z представляется как совокупность векторов Х и Y (зависимых и независимых параметров). При этом задачу можно представить как минимизацию неявной функции:

U[X(Y), Y] = И(Y). (15)

При ограничениях: X_min ≤ X(Y) ≤ X_max, Y_min ≤ Y ≤ Y_max, где X(Y) – неявная функция, определяемая уравнением установившегося режима:

W(X, Y) = 0. (16)

Задачу предлагается решать в два этапа: ввод режима в допустимую область и определение минимума целевой функции в допустимой области.

Пусть имеется задача ввода в допустимую область режима. При Y⁽⁰⁾ из уравнения (16) вычисляется Х = Х⁽⁰⁾. Поправки ΔХ к вектору исходного приближения Х⁽⁰⁾ определяются уравнением:

где ∂W/∂X – матрица частных производных функции.

На основе (15) вычисляется градиент:

где

Допустимый вектор спуска V получается из градиента заменой нулями компонент соответствующих переменных, находящихся на границе и стремящихся выйти за допустимые пределы и изменить знак у остальных компонент.

Следующее приближение вектора Y:

Y⁽¹⁾ =Y⁽⁰⁾ + Vt = Y(t), (20)

где t = min (t_н, t_пр).

Значение t_н определяется методом Ньютона из выражения:

Предельный шаг t_пр = min (t_iпр) является решением уравнения:

Z_i[Y(t)] – Z_iпр = 0. (22)

где

Z_iпр = Z_iпрmax при ∂Z/∂t < 0 и Z_iпр = Z_iпрmin при ∂Z/∂t > 0. (23)

Окончание вычислительного процесса оптимизации контролируется по величине V с учетом изменений вектора Y и I(Y) на ряде следующих друг за другом приближений.

К недостаткам данного метода следует отнести ухудшение сходимости при приближении к минимуму целевой функции, а также сложность алгоритма и трудоемкость ее реализации.

Для учета ограничений типа неравенств при применении градиентных методов предложено использовать метод штрафных функций.

В литературе приведена сеть градиентных методов оптимизации и дана их сравнительная характеристика.

Наиболее мощный метод оптимизации, основанный на градиентном способе первого порядка, предназначен для решения задач, минимизирующих функцию:

В отличие от метода приведенного градиента уравнение установившегося режима записывается в виде явных функций, и управление функциональными ограничениями осуществляется с помощью штрафных функций, тогда как в методе приведенного градиента – сменой базиса, т.е. обменом переменных векторов Х и Y.

Методы оптимизации второго направления получили широкое распространение в многочисленных исследованиях.

Известен метод, решающий задачу комплексной оптимизации. Основная идея состоит в том, чтобы преобразовать первоначально нелинейную задачу с ограничениями в последовательность задач без ограничений, решение которых приближается к решению первоначальной задачи. Преобразованную задачу решают методом Флетчера–Пауэлла [19].

В научных работах проводится анализ различных способов преобразования исходной задачи. Анализ методов Фиакко и Мак–Кормика, Зангвилла, Пауэлла [20] показал целесообразность применения двух последних методов как не требующих начальной точки, удовлетворяющей ограничениям типа неравенств.

С использованием преобразования Зангвилла, соответствующего применению штрафных функций, формулируется следующая неограниченная функция:

В уравнении (25) член g_j(X), представляющий собой ограничение типа неравенства, существует только тогда, когда это ограничение нарушается.

Согласно методу Флетчера–Пауэлла для квадратичной функции f(X) справедливо соотношение:

где X – точка максимума; l_j – обратная матрица вторых частных производных функции f(X), называемой матрицей Гессе; g(X) – вектор первых частных производных функции f(X).

Разность в левой части соотношения (26) представляет собой расстояние между любой точкой Х и точкой минимума. Для неквадратичной функции X не является точным минимумом, однако эту точку можно рассматривать в качестве начального приближения для следующей итерации по выражению (26).

Матрица l_j получается итеративно по алгоритму, для реализации которого требуются только первые производные целевой функции. После определения ΔХ и новой точки матрицы l_j, которая сначала являлась единичной, пересчитывается добавлением к ней матриц коэффициентов:

l_j⁽ⁱ⁺¹⁾ = l_j⁽ⁱ⁾ + A⁽ⁱ⁾ + B⁽ⁱ⁾, (27)

где

Особенностью метода Флетчера–Пауэлла является отсутствие необходимости в вычислении обратной матрицы вторых частных производных.

К недостаткам метода следует отнести, во-первых, то, что матрица Гессе должна постоянно храниться в оперативной памяти компьютера и изменяться на каждом шаге алгоритма, во-вторых, при решении задач с большим числом переменных изменений в матрице l_j бывает недостаточно для получения таких значений ΔХ, которые бы уменьшили f(X).

Для ликвидации этих недостатков выдвигается идея непосредственной оценки матрицы Гессе:

HΔX = g(X), (28)

где Н – матрица Гессе.

Уравнение (28) решается относительно ΔХ с помощью исключения Гаусса, заключающегося в приведении системы к треугольному виду. Основным недостатком метода является его зависимость от выбора начальной точки.

Статистические методы оптимизации систем электроснабжения изложены и разработаны Д. А. Арзамасцевым [21]. Рассматривается постановка задачи комплексной оптимизации режима электрической сети. Сочетание случайного поиска с методом штрафных функций дает возможность определять условные экстремумы для задачи оптимизации режима работы электрической сети и системы.

В рассматриваемой допустимой области k-факторного пространства выбирается начальная точка Х⁽⁰⁾ с координатами Х₁⁽⁰⁾, Х₂⁽⁰⁾, ..., Х_k⁽⁰⁾ и в ней вычисляется значение целевой функции Т⁽⁰⁾. Для перехода в новую точку Х⁽¹⁾ с координатами Х₁⁽¹⁾, Х₂⁽¹⁾, ..., Х_k⁽¹⁾ выбирается случайный вектор, равномерно распределенный по гипосфере радиуса h с центром в начале системы координат:

ΔХ⁽⁰⁾ = (ΔХ₁⁽⁰⁾, ΔХ₂⁽⁰⁾, ..., ΔХ_k⁽⁰⁾). (29)

Координаты точки Х⁽¹⁾ определяются путем сложения двух векторов:

X⁽¹⁾ = X⁽⁰⁾ + ΔX⁽⁰⁾. (30)

Значение целевой функции в точке X⁽¹⁾ равно T⁽¹⁾.

Выполненный шаг считается удачным и точка X⁽¹⁾ принимается, если выполняется условие:

T⁽¹⁾ < T⁽⁰⁾ . (31)

В противном случае точка X⁽¹⁾ не принимается.  Вновь выбирается случайный вектор и производится новая попытка сделать удачный шаг. Процесс перехода из точки X⁽¹⁾ в точку X⁽²⁾ производится аналогичным образом.

Достоинство метода случайного поиска заключается в простоте структуры программной реализации на компьютере, высокой надежности и эффективности при решении многих задач нелинейного программирования. Это единственный метод, способный решать многоэкстремальные задачи. Он особенно эффективен при отсутствии аналитических выражений  для градиента. В то же время при приближении к минимуму целевой функции по алгоритму случайного поиска возрастает число неудачных шагов, поэтому вблизи экстремума уточнение целесообразно проводить каким-либо детерминированным методом оптимизации, например, градиентом.

Разновидностью метода случайного поиска является метод случайного спуска.

При определении минимума целевой функции по алгоритму случайного спуска направление движения в общем случае также задается случайным вектором, равномерно распределенным по гипосфере. Однако, в отличие от алгоритма случайного поиска, направление выбирается не на каждом шаге. В выбранном случайным образом удачном направлении выполняется такое количество рабочих шагов, пока функция не начнет возрастать. В полученной точке вновь выбирается удачное направление, и спуск выполняется в этом направлении до тех пор, пока оно не исчерпает себя, и т.д. Таким образом, производится спуск в район искомого минимума.

Заключение

Проведен анализ существующих схем электроснабжения рудников открытых горных работ с точки зрения аварийности отдельных элементов сетей и электрооборудования карьеров и влияния на нее различных возмущающих факторов. На основе анализа для всех основных элементов схем электроснабжения карьеров установлено, что время аварийного простоя и время аварийного отключения подчинено логарифмически нормальному закону, стандарт аргумента преобразующей функции практически сохраняет постоянное значение. Проведенные анализы показывают, что годовые продолжительности аварийного простоя электрооборудования карьеров также распределены по логарифмически нормальному закону, и значения стандарта преобразованного аргумента имеют отклонения, не превышающие 20 % от определенного среднего значения стандарта 0,347. Разработана методика анализа схем по надежности по нескольким вариантам, заключающаяся в определении вероятности перерыва электроснабжения каждого приемника (подстанции) с учетом мощностей отдельных участков схемы и отдельных потребителей по отношению к их суммарной мощности. Представлены методы оптимизации систем электроснабжения карьеров, заключающиеся в применении градиентных методов первого порядка, методов второго порядка или так называемых квадратичных методов оптимизации, методов случайного поиска. В качестве наиболее распространенных для решения задач нелинейного программирования используется группа градиентных методов, среди которых в первую очередь следует рассматривать метод наискорейшего спуска. Также рассматривается метод случайного спуска, заключающийся в определении минимума целевой функции по соответствующему алгоритму, при котором направление движения в общем случае задается случайным вектором, равномерно распределенным по гипосфере.