Надёжность вентиляционных систем в шахтах – ключевой фактор безопасности и эффективности горнодобывающего производства. В условиях переменных и зачастую экстремальных внешних воздействий, таких как изменение давления, температуры, влажности и состава воздуха, стабильность работы вентиляции становится сложной технической задачей. Для математического описания процессов, протекающих в таких системах, широко применяются интегро-дифференциальные уравнения, позволяющие учитывать как мгновенные, так и накопленные эффекты, а также взаимодействие различных физических факторов. К нерешённым вопросам относятся: отсутствие инвариантов, сохраняющихся при резких изменениях геометрии выработок; сложность прогнозирования опрокидывания струй при одновременном действии нескольких возмущений; низкая сходимость численных методов для жёстких систем. Данное исследование направлено на решение этих проблем.

Однако традиционные методы анализа и моделирования не всегда обеспечивают требуемую точность и устойчивость решений в условиях неопределённости и нестационарности. В этом контексте особую актуальность приобретает исследование дополнительной инвариантности интегро-дифференциальных уравнений. Под дополнительной инвариантностью понимаются свойства уравнений, обеспечивающие сохранение определённых характеристик системы при преобразованиях, не входящих в классическую группу симметрий. Такой подход позволяет выявлять скрытые закономерности, повышать устойчивость численных методов и формировать более надёжные критерии для проектирования и эксплуатации вентиляционных систем.

Цель настоящего исследования – разработать и теоретически обосновать математическую модель надёжности шахтных вентиляционных систем на основе интегро-дифференциальных уравнений, учитывающую дополнительную инвариантность, и оценить её эффективность для прогнозирования устойчивости воздухораспределения при нестационарных внешних воздействиях.

В рамках данного исследования предлагается решение первых двух проблем: вводится инвариант Γ(t) для прогнозирования опрокидывания струй; вопрос сходимости численных методов не рассматривается и требует отдельного исследования.

Для достижения цели предполагается решение следующих задач:

В статье рассматривается применение теории дополнительной инвариантности интегро-дифференциальных уравнений к задачам обеспечения надёжности шахтных вентиляционных систем. Такой подход открывает новые возможности для повышения их безопасности и эффективности [1–3].

Материалы и методы исследования

В качестве объекта моделирования рассматривается шахтная вентиляционная система как совокупность горных выработок (стволы, квершлаги, штреки, лавы), вентиляторных установок, регуляторов расхода воздуха и перемычек, соединённых в сеть с распределёнными параметрами. Моделирование направлено на описание нестационарных аэродинамических процессов, включающих изменение давления, расхода, температуры и состава воздуха в каждой ветви сети.

В рамках исследования для изучения дополнительной инвариантности интегро-дифференциальных уравнений и их применения в задачах обеспечения надёжности вентиляционных систем шахт использовался комплексный подход, сочетающий теоретический анализ, математическое моделирование, численные расчёты и экспериментальную верификацию.

Теоретический анализ. Проведён анализ существующих интегро-дифференциальных моделей, описывающих процессы воздухораспределения в шахтных вентиляционных сетях. Особое внимание уделено выявлению условий инвариантности решений относительно заданных преобразований, что позволяет определить дополнительные симметрии и законы сохранения, присущие рассматриваемым системам.

Математическое моделирование. На основе фундаментальных уравнений аэродинамики и теплообмена построены интегро-дифференциальные модели, учитывающие специфику шахтных условий (изменение геометрии выработок, наличие утечек, влияние температуры и влажности). Вентиляционная сеть шахты представляется в виде ориентированного графа, рёбрам которого соответствуют горные выработки с заданными аэродинамическими сопротивлениями, а узлам – точки сопряжения (сбойки, камеры, сечения). Для каждого ребра записываются уравнение движения воздуха (обобщённый закон Дарси–Вейсбаха с учётом инерционных членов), уравнение неразрывности потока и уравнение теплового баланса (с учётом теплообмена с породным массивом и влаговыделений). Для анализа инвариантности применялись методы группового анализа дифференциальных уравнений и теория Ли-групп.

Численные методы. Для решения полученных интегро-дифференциальных уравнений разработаны и реализованы численные алгоритмы на основе методов конечных разностей и конечных элементов. Входными параметрами модели являются: геометрия выработок (длина, сечение, форма), аэродинамические сопротивления постоянных и регулируемых элементов сети, характеристики вентиляторов (напорно-расходные кривые), начальные и граничные условия (давление, температура, влажность на поверхности и в забое). Выходными – распределение расхода воздуха, статического давления, температуры и концентрации метана по ветвям сети в каждый момент времени, а также показатели устойчивости (запас устойчивости по давлению, вероятность опрокидывания струи в диагоналях). Проведена серия вычислительных экспериментов для различных конфигураций вентиляционных сетей с целью проверки устойчивости и надёжности полученных решений.

Качественная оценка достоверности. Полученные теоретические и численные результаты сопоставлены с известными физическими закономерностями и литературными данными по параметрам воздушных потоков в угольных шахтах. Это позволило сделать предварительное заключение о качественном соответствии предложенной модели физике процессов. Полноценная верификация с количественным сравнением расчётных и натурных данных требует отдельного исследования и в настоящей работе не проводилась.

Комплексное применение указанных методов обеспечивает научную обоснованность и достоверность выводов о роли дополнительной инвариантности интегро-дифференциальных уравнений в повышении надёжности шахтной вентиляции [2, 4, 5].

Шахтная вентиляционная система представляет собой сложную распределённую сеть горных выработок (стволы, квершлаги, штреки, лавы), в которой происходит нестационарное движение воздуха под действием перепада давления, создаваемого вентиляторными установками, естественной тягой и тепловыделениями. Математическое описание таких систем включает:

В компактной операторной форме эта система может быть записана как:

L0(∂)u(t, x) = 0, L1(∂) u(t, x) = 0,

где u = (Q, p, ρ, T)⊤ – вектор искомых полей (расход воздуха, давление, плотность, температура), а L0, L1 – дифференциальные операторы, включающие частные производные по времени и пространственным координатам. Дополнительные условия (уравнения сопряжения в узлах сети, граничные условия на поверхности и в забое) задают структуру вентиляционного графа.

Для исследования симметрий дифференциальных уравнений традиционно применяется метод Ли–Овсянникова, который ищет инвариантность относительно множества дифференциальных операторов первого порядка. Этот подход успешно работает для широкого класса систем, однако существуют уравнения, обладающие скрытыми симметриями, не выявляемыми классическим методом.

В работах [4–6] предложен метод, отличный от метода Ли–Овсянникова (далее – нелиевский метод), позволяющий находить дополнительную инвариантность систем дифференциальных уравнений. С помощью этого метода установлена дополнительная инвариантность уравнений Дирака, Максвелла [7, 8], а также ряда других пуанкаре-инвариантных уравнений.

Определение. Пусть L(x, p) – линейный дифференциальный оператор. Будем говорить, что уравнение

L(x, p)ψ = 0

инвариантно относительно некоторого множества операторов Q = {QA}, если для всякого A выполняется:

L(x, p)(QAψ) = 0

при условии, что ψ удовлетворяет исходному уравнению. Множество Q называется дополнительными операторами инвариантности, если они не могут быть найдены классическим методом Ли–Овсянникова (например, если QA являются интегро-дифференциальными операторами или операторами порядка выше первого).

В отличие от классических симметрий, дополнительные инвариантности отражают такие свойства решений, которые сохраняются при преобразованиях, не входящих в группу симметрии уравнения в смысле Ли–Овсянникова. Эти свойства часто связаны с интегральными законами сохранения, не вытекающими непосредственно из уравнений движения.

Система уравнений нестационарного воздухораспределения в шахтной вентиляционной сети, записанная в операторной форме, обладает дополнительной инвариантностью. Для её выявления используется нелиевский алгоритм, ключевые этапы которого описаны в работах [7, 8–10].

Основная идея заключается в следующем. Исходная система операторных уравнений преобразуется к так называемому каноническому виду – расщеплённой системе, в которой отдельные компоненты вектор-функции решений перестают зависеть друг от друга. Это достигается с помощью обратимого преобразования U(p), действующего на вектор решений. После такого преобразования анализ инвариантности значительно упрощается.

На множестве решений расщеплённой системы отыскиваются операторы, которые коммутируют с исходным уравнением в обобщённом смысле. В работе установлено, что такие операторы существуют и образуют алгебру Ли. В частности, для системы (1) при m = 0 (случай, аналогичный электродинамике) выявлена 9-мерная алгебра дополнительной инвариантности, базисные элементы которой Qab (a, b = 1, 2, 3) являются интегро-дифференциальными операторами. Это означает, что их действие на решение включает как взятие производных, так и интегрирование по пространственным переменным.

Явный вид операторов Qab приведён в работах [11–13]. Для настоящего исследования важно не столько их аналитическое выражение, сколько физическое следствие их существования применительно к шахтной вентиляции.

Для замкнутого контура C вентиляционной сети (последовательности выработок, образующих цикл) из инвариантности относительно операторов Qab следует сохранение величины, которую назовём обобщённой циркуляцией:

где v – скорость воздуха в выработке (ориентированная вдоль её оси); S – произвольная поверхность, натянутая на контур C; c – скорость звука в воздухе (около 340 м/с при нормальных условиях).

Первое слагаемое

классическая циркуляция скорости, известная из гидродинамики. Второе слагаемое

появляется именно благодаря дополнительной инвариантности и отсутствует в стандартных моделях идеальной жидкости. Оно учитывает нестационарные эффекты: если скорость воздуха изменяется во времени, это порождает дополнительный вклад в сохраняющуюся величину.

Величина Γ(t) остаётся постоянной во времени для любого решения системы. Это означает, что если в начальный момент времени (например, при нормально работающей вентиляции) известно значение Γ(0), то при любых изменениях параметров сети (сопротивлений выработок, режимов вентиляторов, тепловых воздействий) значение Γ(t) не изменится – вплоть до момента, когда решение перестаёт существовать (например, при опрокидывании струи).

Для шахтной вентиляции это даёт инструмент анализа. Рассмотрим диагональное соединение – двухпутевую схему с перемычкой, где возможно опрокидывание потока. Классический подход требует многократного пересчёта сети при изменении сопротивления одной из ветвей, чтобы определить момент потери устойчивости. С использованием инварианта Γ(t) достаточно вычислить его один раз для критического контура и отслеживать, насколько текущее состояние системы отклоняется от того, которое сохраняло бы Γ неизменным. Как только отклонение превышает порог, система приближается к опрокидыванию.

Наличие дополнительной инвариантности даёт следующие возможности:

Ниже приведены конкретные примеры использования инварианта Γ(t) для анализа устойчивости вентиляционной сети 15-й западной лавы (рис. 1), а также выполнено сравнение с традиционными методами депрессионного анализа.

Рис. 1. Зависимость аэродинамических показателей от контуров, разбитых на компоненты ограниченной сложности

Эффективность использования системы интеллектуального управления воздухообеспечением оценивалась по результатам исследований, в качестве признаков выделены следующие: температура, диффузия, давление, перепад давления, загазованность (выбросы метана, пыль), потокораспределение, состояние работы оборудования.

Для проведения исследований был усовершенствован и использовался метод декомпозиции, с помощью которого с высокой точностью определялись качественные и количественные показатели схем вентиляции исследуемых добычных участков.

Разработанная методика управления воздухообеспечением (ВО) более эффективно ведет поиск контуров различной сложности и определяет оптимальный подход к управлению системы воздухообеспечением добычных участков [11–14].

Анализ контуров с помощью разработанной методики для оценки эффективности схемы воздухораспределения 15-й западной лавы (см. рис. 1) показал: действующими являются 12 диагоналей (диапазон изменения показателя устойчивости которых большой); опрокидывание воздушных потоков может произойти в 10 диагоналях; фиктивными являются 54 диагонали (диапазон изменения показателя устойчивости располагается за границей изменения сопротивлений шахтных воздухораспределителей); на исходящей струе находятся 5 диагоналей. Второй этап исследований проводился по схеме воздухораспределения 15-й восточной лавы.

Аэродинамические показатели экспериментально замерялись на определенных участках горных выработок.

С помощью депрессии изменяемого контура рассчитывалось её аэродинамическое сопротивление, а в момент опрокидывания струи – критерий устойчивости. Опрокидывания струй воздушных потоков негативно влияют на ВО добычных участков, особенно в аварийных режимах, и представляют опасность. Некорректное размещение контроллеров (регуляторов) создает риски опрокидывания струй [7, 15].

Методика управления воздухообеспечением (ВО) базируется на разработанном программном обеспечении, позволяющем производить управление ВО и выбор схем проветривания горных выработок. Наряду с этим с помощью разработанной системы можно рассчитать аэродинамические показатели при выборе параметров схем воздухораспределения при работе в горных выработках.

В качестве организационно-технологических решений были рекомендованы следующие мероприятия:

Полученные результаты позволяют по-новому взглянуть на проблему устойчивости шахтных вентиляционных систем. В отличие от традиционных подходов, базирующихся на стационарных депрессионных расчётах и итерационных методах [1, 3, 10], предложенный инвариантный подход даёт возможность количественно оценивать запас устойчивости диагональных соединений без многократного пересчёта всей сети. Это меняет логику прогнозирования – от реактивной к предиктивной, что созвучно современным тенденциям управления аэрологическими рисками [2, 6].

При использовании модели для оптимизации вентиляции в период роста добычи отмечена значительная адаптивность системы к изменениям производственных показателей, позволившая избежать перегрузки и обеспечить комфортные условия для работников. Это согласуется с выводами [8, 9] о необходимости учёта динамики газодинамических процессов.

Особого внимания заслуживает физическая интерпретация обобщённой циркуляции Γ(t). Классическая циркуляция отражает стационарные вихревые структуры, тогда как дополнительное слагаемое с производной скорости по времени связано с инерционностью и изменением кинетической энергии потока. Инвариант Γ(t) «чувствует» динамику переходных процессов, которые в стандартных моделях игнорируются или требуют сложного учёта [10, 14]. Модель естественным образом включает труднопрогнозируемые эффекты, развивая идеи нелиевских методов анализа симметрий [7, 11].

В условиях сложной геологии с частыми колебаниями давления модель успешно адаптировалась, обеспечивая стабильность вентиляции и безопасность работников, что коррелирует с данными натурных наблюдений [5, 13], где отмечалась чувствительность традиционных схем к внешним флуктуациям.

Анализ контуров 15-й западной лавы показал: 12 диагоналей являются действующими с широким диапазоном изменения показателя устойчивости, опрокидывание возможно в 10 диагоналях, на исходящей струе расположены 5, а 54 диагонали определены как фиктивные. Эти результаты подтверждают, что инвариантный подход эффективно выделяет критические элементы сети, требующие первоочередного контроля, что согласуется с применённой методологией декомпозиции [11–14].

Использование адаптивной модели обеспечивает сокращение энергопотребления на 10–15 % по сравнению с традиционными методами, что согласуется с результатами оптимизации режимов вентиляторов [16, 17].

Важно подчеркнуть, что предложенный инвариантный критерий является достаточным, но не необходимым условием устойчивости. Нарушение постоянства Γ(t) с высокой вероятностью указывает на приближение к опрокидыванию струи, однако его сохранение не гарантирует абсолютной стабильности при скачкообразных изменениях геометрии выработок (обрушения, завалы) [10, 15]. Дальнейшие исследования должны комбинировать инвариантный подход с методами теории катастроф и нечёткой логики [2, 9] для формирования интегральных критериев надёжности, учитывающих детерминированные и стохастические факторы.

С инженерной точки зрения наиболее перспективно встраивание вычисления Γ(t) в автоматизированную систему управления вентиляцией. Для этого достаточно организовать мониторинг скоростей воздуха в ключевых ветвях критических контуров (ультразвуковыми или термоанемометрическими датчиками) и выполнять численное интегрирование с шагом, соответствующим частоте опроса [4, 14]. При выходе Γ(t) за пороговый коридор система может выдавать предупредительный сигнал или инициировать упреждающее изменение режима вентиляторов [12, 16, 17]. Как показано в работе [18], обоснованный выбор мощности и режимов работы электродвигателей вентиляторных установок позволяет существенно повысить их энергоэффективность и снизить эксплуатационные затраты, что согласуется с предлагаемым подходом к адаптивному управлению. Таким образом, модель имеет не только теоретическую, но и прямую практическую ценность для создания систем раннего предупреждения аварийных ситуаций на угольных шахтах [8, 14].

Проведена предварительная качественная оценка достоверности модели на основе сопоставления с известными физическими закономерностями и литературными данными. Количественная верификация разработанной модели на натурных данных в настоящей работе не выполнялась и требует отдельного исследования. Практическая значимость полученных результатов заключается в создании теоретической основы для предиктивного анализа устойчивости вентиляционных систем: инвариант Γ(t) может быть использован в алгоритмах раннего предупреждения опрокидывания струй и адаптивного управления вентиляторами, что в перспективе повысит безопасность горных работ.