Сравнительный анализ моделей зависимости фильтрационных свойств угля
от напряженно-деформированного состояния массива

Введение

Прогнозирование проницаемости угольных пластов напрямую влияет на оценку метанообильности горных выработок и эффективности предварительной дегазации. Необоснованная оценка этих параметров может привести, с одной стороны, к снижению нагрузок на очистные забои (и, как следствие, снижению уровня добычи угля), а с другой стороны, к проявлению опасных газодинамических процессов и явлений в шахтах, что угрожает безопасности шахтёров и устойчивости горных выработок [1].

Уголь формируется в осадочных бассейнах, где процессы накопления органического вещества протекают в условиях различных тектонических обстановок. Эти обстановки варьируются от стабильных платформенных областей до активных горно-складчатых регионов [2]. Тектонические движения приводят к перераспределению осадочного материала, изменению условий давления и температуры. В результате таких процессов угольные пласты приобретают сложные структуры, включающие складчатость, разломы и зоны тектонического меланжа [2]. Эти процессы сопровождаются развитием систем тектонических трещин, которые могут как повышать, так и понижать проницаемость массива в зависимости от их ориентации и масштаба [3, 4]. Разломные зоны обычно связаны с повышенной трещиноватостью и изменениями фильтрационно-емкостных свойств угля. Влияние разломов проявляется также в перераспределении напряжений в массиве, что создает геомеханические обстановки, влияющие на проницаемость углепородного массива [5]. Горные породы, вмещающие угольные пласты, также оказывают влияние на механическое состояние углепородного массива, но более локально. Например, прочные и хрупкие породы, такие как песчаники и известняки, могут создавать зоны повышенных напряжений. А менее прочные, но пластичные слои (например, глинистые породы) способствуют перераспределению напряжений [4, 6].

Трещиноватость и пористость угля определяют его проницаемость. Градиентное поле действующих напряжений (сжатие, растяжение и сдвиги) создают разломы и микротрещины, что увеличивает объем пустотного пространства [4]. Напряженно-деформированное состояние углепородного массива влияет на метановыделение угольных пластов не всегда однозначным образом. При повышении напряжений возможно уменьшение трещинной проницаемости вследствие закрытия трещин, тогда как снижение напряжений сопровождается их раскрытием и повышением проницаемости [5]. С другой стороны, структурное изменение минерального скелета углепородного массива может интенсифицировать десорбцию метана из микропор угля [3, 4].

Целью исследования является сравнительный анализ существующих эмпирических и аналитических моделей зависимости проницаемости угля от напряженно-деформированного состояния. Для достижения поставленной цели в ходе работы были решены следующие задачи:

1. Проанализирован математический аппарат моделей зависимости проницаемости угля от НДС углепородного массива.
2. Выполнен системно-аналитический обзор существующих моделей данного типа.
3. Проведено численное моделирование изменения проницаемости в диапазоне эффективных напряжений 0–50 МПа и глубин 0–1500 м для сравнения поведенческих особенностей моделей.
4. Оценены чувствительность моделей к собственным гиперпараметрам и определены границы их применимости.
5. Сформулированы практические рекомендации по выбору модели для построения фильтрационных моделей углепородного массива.

Используемые данные и методика исследований

Матрица угля имеет уникальное свойство набухания при адсорбции газа и сжатия при десорбции. При десорбции метана газ диффундирует через угольную матрицу в естественную трещинную систему угля, известную как система кливажа угля [3]. В матрице каменного угля выделяют трещины эндогенного и экзогенного кливажа. А способность проводимости трещин зависит от их параметров густоты, раскрытия, ориентации, протяженности и др. [3, 7]. Эндогенный кливаж формируется в процессе углефикации и обусловлен внутренними процессами изменения вещественного состава углей при их генезисе [8]. Обыкновенно он представлен двумя взаимно перпендикулярными системами кливажа (основной и торцевой) [9] (рис. 1, а).

Рис. 1. Модель матрицы угля [9] и клеточно-ячеистая модель проницаемости матрицы угля [10, 14]:
а – модель матрицы угля; б – анизотропная модель: a₁, a₂, a₃ – размеры граней ячеек (ненарушенных частиц) угольной матрицы, b₁, b₂, b₃ – эффективная ширина раскрытия по системам трещин; в – изотропная модель

Общим уравнением, из которого можно выразить абсолютную проницаемость среды, является уравнение Навье–Стокса для вязкого флюида. Однако на практике из-за недостатка информации используется уравнение Дарси [10]. Принято считать, что поток флюида по закону Дарси обусловлен течением в системе кливажа и что вкладом течения через поры матрицы угля можно пренебречь. Проницаемость трещин составляет 0,001–100 мД, микроблоков угля – единицы микродарси или нанодарси [9, 11, 12]. Проницаемость угольного пласта определяется системой кливажа [8]. А кливаж угля обусловливает значительную анизотропию его проницаемости. По данным экспериментальных исследований [11, 13] отношение проницаемостей вдоль основной и торцевой систем кливажа составляет от 2 : 1 до 17 : 1. В этом случае компоненты тензора абсолютной проницаемости угля описывают моделью гомогенной непроницаемой среды, разделенной двумя взаимно ортогональными системами трещин [10]:

q = −[b_i³/(12a_i)][1/μ]ΔP, (1)

где b_i – раскрытие трещины, м; a_i – грань кубической ячейки, м.

Уравнение (1) применяется к одной системе кливажа i, вносящей вклад в общий поток. С учетом шероховатости трещинно-порового пространства ширина b_i называется эффективной гидравлической шириной и обыкновенно она меньше грани ячейки a_i. Абсолютная проницаемость системы кливажа определяется уравнением Шейдейгера [15]:

k_абс = −[b_i³/(12a_i)], (2)

или в виде отношения:

k_i/k_i0 = (b_i/b_i0)³, (3)

где b_i – эффективная ширина раскрытия трещины, м; k_i – эффективная фазовая абсолютная проницаемость среды, м²; b_i0 – начальная ширина раскрытия трещины, м; k_i0 – начальная абсолютная проницаемость среды, м².

Основными факторами, влияющими на напряженно-деформированное состояние разрабатываемого угольного пласта, являются коэффициент бокового распора, глубина разработки, физико-механические свойства, структурные неоднородности и сорбционно-кинетические свойства массива.

В результате действия вертикальных напряжений в массиве формируются напряжения бокового отпора. Существует несколько возможных моделей определения напряжений бокового распора [16]: по А. Гейму – боковой отпор в массиве определяется величиной литостатического давления и равен ему, как в условиях гидростатического давления; по А. Н. Диннику – боковой отпор в массиве определяется коэффициентом бокового распора, характеризующим упругую отдачу в горизонтальном направлении от веса вышележащих пород; по Н. Хасту – боковой отпор в массиве определяется, помимо составляющей по А. Н. Диннику, тектоническими напряжениями, вызванными внешним полем действующих тектонических напряжений. При этом горизонтальные тектонические напряжения в некоторых участках земной коры могут даже превышать литостатические значения, что было подтверждено рядом инструментальных измерений [16, 17].

При механическом или термическом воздействии на уголь возникают различные сорбционные эффекты, которые вызывают термическое расширение или сжатие горных пород [6, 9]. Таким образом, в массиве угля формируется дополнительный, уникальный фактор НДС – сорбционные напряжения. Величина сорбционных деформаций (и, следовательно, напряжений) зависит от газонасыщенности массива, давления газа, температуры, а также от структурных и текстурных особенностей угля. Уголь с высокой микропористостью обладает большей способностью к адсорбции газа, что усиливает эффект набухания. Зависимость напряжений в угле от сорбционных деформаций можно выразить через обобщённый закон упругости, модифицированный для включения сорбционных эффектов, аналогичных тепловому расширению [18–20]. В общем виде для линейно-упругой среды эта зависимость записывается следующим образом:

σ_ij = C_ijkl × ε_ij + K_sε_sδ_ij, (4)

где K_s – сорбционный модуль, описывающий влияние деформаций, вызванных сорбцией газа; ε_s – сорбционная деформация, вызванная адсорбцией или десорбцией газа; δ_ij – дельта Кронекера (δ_ij = 1, если i = j, и δ_ij = 0, если i ≠ j).

В моделях проницаемости угля зависимость проницаемости от напряженного состояния выражают через эффективное напряжение среды. Эффективное напряжение определяется выражением:

σ_эфф,ij = σ_ij − ωP_fδ_ij, (5)

где σ_ij – компоненты тензора напряжений; ω – коэффициент Био (безразмерный); P_f – давление флюида в порах, Па; δ_ij – дельта Кронекера (δ_ij = 1, если i = j, и δ_ij = 0, если i ≠ j).

Таким образом, обобщенная модель действующих напряжений в углепородном массиве будет складываться из нескольких основных факторов – литостатических напряжений σg, напряжений бокового отпора σ_r, действующих тектонических напряжений σ_т, термических напряжений σ_t и сорбционных напряжений σ_s.

Зависимости проницаемости угля от напряженно-деформированного состояния и практические результаты

В эмпирических моделях зависимости проницаемости от НДС обычно используется среднее напряжение в массиве. Факторы сорбционных деформаций, порового давления применяются в моделях макромасштаба. Рассмотрим основные эмпирические модели, которые для удобства сравнения были приведены к единому аналитическому виду.

Одна из первых моделей такого рода была предложена в работе [21] в виде эмпирической зависимости проницаемости от среднего напряжения для образцов, отобранных на месторождениях Питсбурга и Вирджинии (США). Особенность модели заключается в учете только раскрытия трещин из-за механического воздействия напряжений:

где k_σ – проницаемость в зависимости от напряжений, мД; k₀ – проницаемость при нулевом напряжении, мД; σ – среднее нормальное напряжение, Па.

В работе [22] представлена эмпирическая зависимость проницаемости, но уже от эффективных напряжений, для углей австралийского бассейна «Лейчард»:

Впоследствии эта зависимость была представлена в виде обобщенной экспоненциальной зависимости, которая является отправной точкой для формирования более продвинутых моделей:

k_σ = k₀ exp (−C_p × σ_эфф), (8)

где k_σ – текущая проницаемость угольного пласта при действующем эффективном напряжении, м²; k₀ – природная проницаемость угольного пласта при отсутствии действующих напряжений, м²; Cp – коэффициент чувствительности проницаемости к эффективному напряжению, Па⁻¹ (коэффициент C_p варьируется в пределах 0,01–0,1 Па⁻¹ в зависимости от структуры трещин); σ_эфф – эффективное напряжение, Па.

Модель [23] учитывает влияние сорбционных деформаций на раскрытие/закрытие трещин. При этом в модели используется не абсолютное значение деформаций и напряжений, а величина их изменения:

k_σ = k₀ exp (−3C_pΔσ_эфф × SΔε_s), (9)

где Δσ_эфф – изменение эффективного напряжения, Па; Δε_s – изменение сорбционной деформации, вызванное изменением количества адсорбированного газа; S – коэффициент чувствительности проницаемости к сорбционным деформациям. Коэффициент S варьируется в пределах 0,1~1,0 (остальные параметры аналогичны модели [22]).

Модель [24] также учитывает влияние сорбционных деформаций на раскрытие/закрытие трещин. Но в отличие от модели [23] в ней использованы абсолютные значения деформаций и напряжений:

k_σ = k₀ exp (−C_p × σ_эфф + (1 − γ)Δε_s), (10)

где γ – коэффициент компенсации сорбционных деформаций. Коэффициент γ варьируется в пределах 0–1 (остальные параметры аналогичны моделям [22, 23]).

Модели [25, 26], развивая модель [23], включают в расчёт пористость угля и сорбционные деформации, основанные на законе Дарси. В данных моделях используется величина изменений деформаций и напряжений в массиве:

где ϕ – текущая пористость угольного пласта при действующем эффективном напряжении (доля, %); ϕ₀ – начальная пористость угольного пласта при отсутствии действующих напряжений (доля, %); n – эмпирический коэффициент, варьируется в пределах 1–3 (остальные параметры аналогичны модели [23]).

Модель [27] предлагает альтернативную зависимость первой модели [22] с учетом деформационных свойств горных пород. Отличие этой модели – использование средних напряжений и модуля Юнга горных пород в явном виде:

В общем виде модель можно представить в виде выражения:

где σ – текущее среднее нормальное напряжение, Па; σ₀ – начальное среднее нормальное напряжение, Па; E – текущий модуль Юнга горных пород при действующем среднем напряжении, Па; E₀ – начальный модуль Юнга горных пород при отсутствии действующих напряжений, Па; C_p – коэффициент чувствительности проницаемости к эффективному напряжению, Па⁻¹. Коэффициент C_p варьируется в пределах 0,01–0,1 Па⁻¹ в зависимости от структуры трещин.

Среднее нормальное напряжение определяется выражением:

σ = (σ_xx + σ_yy + σ_zz)/3. (14)

Если использовать модель литостатического давления с учетом давления бокового отпора по модели А. Н. Динника:

σ_z = ρgH, σ_x,y = σ_z × μ/(1 − μ), (15)

можно оценить изменение среднего и эффективного напряжения с глубиной. На графике зависимости проницаемости от эффективного напряжения (рис. 2, а) показаны результаты расчётов по пяти моделям: Gray (1987) [22], Seidle (1992) [23], Palmer & Mansoori (1998) [24], Shi & Durucan (2004) [25, 26] и Каркашадзе и Хаутиев (2015) [27]. По этим же данным можно пересчитать зависимость проницаемости от глубины залегания угольного пласта (рис. 2, б). Общая тенденция всех моделей заключается в нелинейном уменьшении проницаемости с ростом эффективного напряжения, что отражает физические процессы сжатия порового пространства и закрытия трещин в угольном пласте под действием внешних нагрузок. Однако каждая модель учитывает разные физические и геомеханические факторы, что приводит к различной форме кривых.

Рис. 2. Графики зависимости проницаемости от эффективных напряжений (а) и глубины залегания угольного пласта (б) в разных моделях
(при принятых константах C_p = 0,1 Па⁻¹; k₀ = 1 · 10⁻¹² м² (1 мД); Δε_s = 0,5; S = 0,5; γ = 0,5; ϕ₀ = 0,03; ϕ = 0,02; E₀ = 5 · 10⁹; E = 3 · 10⁹)

Результаты сравнительного анализа моделей зависимости проницаемости угля от напряжённо-деформированного состояния обладают прикладным потенциалом для угледобывающей промышленности. Полученные зависимости (см. рис. 2) могут быть использованы при построении трёхмерных геомеханических и фильтрационных моделей углепородного массива, необходимых при оценке эффективности дегазации, газодинамического поведения пластов и метанообильности горных выработок. Корректный выбор модели проницаемости позволяет уменьшить неопределённость при проектировании систем дегазации, оптимизировать расположение и параметры дегазационных скважин, сократить число неэффективных буровых операций и снизить риск газодинамических явлений. Ожидаемый экономический эффект связан с увеличением производительности очистных забоев и уменьшением затрат на дегазационные мероприятия.

Анализ чувствительности зависимостей и обсуждение результатов

Аналитические модели проницаемости требуют данных о микроструктурных характеристиках угля, параметрах пластового давления и распределении флюидов внутри углепородного массива и факторах напряженного состояния угля. Однако в условиях моделирования проницаемости в масштабах угольного пласта сбор и получение таких детализированных данных представляются практически невозможными. В связи с этим целесообразно использовать эмпирические зависимости, которые позволяют описывать проницаемость угольных пластов через параметры их напряжённого состояния. Это упрощает процесс моделирования и делает его принципиально возможным, однако для выполнения таких оценок необходим анализ чувствительности и границ применимости таких моделей.

На основании выполненного анализа предлагаются следующие критерии выбора модели:

• характер доминирующих деформационных процессов в пласте (сорбционные, термоупругие, пороупругие, структурные изменения пористости);
• глубина залегания и ожидаемый диапазон эффективных напряжений, определяющие форму кривой снижения проницаемости;
• микроструктурные особенности коллектора (наличие развитой системы кливажа, чувствительность пористости к давлению);
• примерная величина газонасыщенности и интенсивность сорбционных процессов;
• наличие контрастных упругих свойств углей различных марок.

Выполним анализ чувствительности моделей к значениям напряжений в их формулах. Для этого выполним вариационные расчеты в рамках моделей, варьируя значения напряжений. Чувствительность модели – это производная проницаемости по отношению к изменению эффективного напряжения [28]. Она показывает, как быстро изменяется проницаемость при росте напряжений, и выражается в виде градиента:

Sens = (δk)/(δσ_эфф). (16)

Чувствительность модели показывает скорость изменения проницаемости в ответ на изменения напряжений. Если чувствительность высокая (по абсолютному значению), то изменение проницаемости происходит быстрее с увеличением напряжения; если чувствительность низкая, изменение проницаемости происходит медленно. Для оценки границ применимости зависимостей выполним анализ чувствительности моделей к значениям напряжений в их формулах. Для этого выполним вариационные расчеты в рамках моделей, варьируя значение напряжений. Параметры расчетов приведены в табл. 1. Результаты расчётов для всех моделей доступны в виде набора данных в репозитории Zenodo: https://zenodo.org/records/18441537.

Таблица 1

Параметры моделей

Модель Gray (1987) [22] описывает проницаемость как простую экспоненциальную функцию эффективного напряжения (рис. 3). Это базовая модель, учитывающая только сжатие порового пространства при росте напряжения. Проницаемость уменьшается быстро при низких значениях напряжения и стабилизируется при больших значениях. Модель демонстрирует умеренную чувствительность и используется как основа для сравнения с более сложными моделями. Отсутствие дополнительных параметров делает её менее точной для локальных условий, где необходимо учесть сорбционные, температурные и механические деформации.

Рис. 3. Анализ чувствительности модели Gray (1987) [22]. Зависимость проницаемости (а) и чувствительности (б) от эффективных напряжений при варьировании коэффициента C_p

Модель Seidle (1992) [23] показывает более резкое снижение проницаемости при малых значениях эффективного напряжения, что объясняется влиянием сорбционных деформаций. В модели учитывается дополнительный параметр ε_s, описывающий сорбционные деформации, вызванные адсорбцией или десорбцией газа (метана или углекислого газа). Также присутствует параметр S, связанный с чувствительностью сорбционного вклада. Влияние сорбции приводит к тому, что при значениях эффективного напряжения в интервале 0–5 МПа проницаемость уменьшается быстрее. Модель можно эффективно применять для оценки природных массивов с потенциальными сорбционными эффектами.

Модель Palmer & Mansoori (1998) [24] демонстрирует более плавное снижение проницаемости по сравнению с моделями [22, 23] благодаря учёту комбинированного влияния сорбционных и температурных деформаций. Параметр γ позволяет моделировать влияние деформаций, вызванных изменениями температуры и сорбции газов. При малых значениях напряжения модель ведёт себя схоже с моделью [22], но с ростом напряжений снижение проницаемости происходит медленнее. Модель можно эффективно применять для оценки природной проницаемости массива на значительные глубины, где изменение геотермического градиента температуры будет значительным.

Модель Shi & Durucan (2004) [25, 26] учитывает влияние пористости на проницаемость. Проницаемость описывается как степенная функция изменения пористости ϕ, нормированной на начальное значение ϕ₀. В модели присутствует степенной параметр n, определяющий степень влияния пористости, и параметр сорбционных деформаций ε_s. Модель показывает наиболее равномерное снижение проницаемости, особенно в интервале напряжений >10 МПа, что объясняется её зависимостью от пористости и меньшей чувствительностью к напряжениям по сравнению с другими моделями. Модель следует применять для оценки природной проницаемости массивов с потенциально изменчивой структурой пористого пространства минерального скелета породы.

Модель Каркашадзе и Хаутиева (2015) [27] демонстрирует промежуточное поведение между моделями [22] и [24] (рис. 4). Особенность модели заключается в учёте влияния модуля упругости E и нормированного к его начальному значению E₀, что позволяет описывать изменения проницаемости под воздействием упругих деформаций угольного пласта. Проницаемость уменьшается умеренно с ростом эффективного напряжения, а влияние параметра Cp сглаживает кривую в диапазоне средних значений напряжения. Модель более чувствительна к механическим свойствам угольного массива, что делает её применимой для условий с изменчивыми физико-механическими свойствами угольных пластов, особенно для условий, где упругие и тектонические напряжения вносят существенный вклад в структуру формирования поля напряжений.

Рис. 4. Анализ чувствительности модели Каркашадзе и Хаутиева (2015) [27].
Зависимость проницаемости (а) и чувствительности (б) от эффективных напряжений при варьировании коэффициента C_p; зависимость проницаемости (г)
и чувствительности (д) от эффективных напряжений при варьировании модуля Юнга горных пород E

Выводы

Аналитические модели проницаемости геологической среды требуют учёта данных о микроструктурных характеристиках угля, параметрах пластового давления, распределении флюидов внутри углепородного массива и факторах напряжённого состояния. Однако в условиях моделирования проницаемости в масштабах угольного пласта сбор и получение таких детализированных данных практически невозможны. В этой связи был выполнен анализ математического аппарата существующих моделей и проведён системно-аналитический обзор, что позволило установить, какие параметры оказывают определяющее влияние на формирование зависимостей проницаемости от НДС.

Показано, что факторов напряжённо-деформированного состояния, воздействующих на проницаемость угля, существует значительное количество. С учётом поставленных задач были проведены численные эксперименты и анализ чувствительности основных эмпирических моделей к вариациям эффективных напряжений. В рамках вариационных расчётов установлено, что общая тенденция всех рассмотренных моделей заключается в нелинейном уменьшении проницаемости по мере роста эффективного напряжения. Это отражает физические процессы сжатия порового пространства и закрытия трещин угольного пласта под действием внешних нагрузок. При этом каждая модель опирается на собственные физические и геомеханические предпосылки, что приводит к отличиям в форме кривых и степени чувствительности к ключевым параметрам. Выполнен сравнительный анализ чувствительности основных эмпирических и аналитических моделей проницаемости к изменениям напряжённо-деформированного состояния углепородного массива.

Новым научным результатом настоящего исследования является установление различий в чувствительности существующих моделей проницаемости к геомеханическим параметрам углепородного массива, а также выявление диапазонов напряжённо-деформированного состояния, в которых эти модели дают наибольшую расходимость или, наоборот, сходятся по характеру поведения. В качестве конкретных критериев сравнения моделей предложены: характер доминирующих деформационных процессов в пласте; глубина залегания и ожидаемый диапазон эффективных напряжений; микроструктурные особенности коллектора; примерная величина газонасыщенности и интенсивность сорбционных процессов; наличие контрастных упругих свойств углей различных марок.

В единой постановке задач рассмотрены особенности поведения моделей при варьировании эффективного напряжения в интервале 0–50 МПа и глубин до 1500 м, что позволило сопоставить их реакцию на собственные гиперпараметры – модуль деформации, сорбционные деформации, пористость и упругие свойства. Такой подход не предполагает создания новой модели, однако обеспечивает методический результат: выделены зоны повышенной или сниженной чувствительности каждой зависимости, что позволяет выбирать модель проницаемости для конкретных геомеханических условий. Выбор конкретной модели будет зависеть от условий формирования полей напряжений угольного пласта: сорбционные деформации лучше всего описываются моделью [23], глубокие пласты с изменчивой пористостью – моделью [24], а для учёта упругих деформаций наиболее подходит модель [27]. Эти зависимости можно использовать для оценки природной проницаемости угольных пластов в ненарушенном массиве.

Таким образом, проведенное исследование позволило выполнить комплексный сравнительный анализ моделей проницаемости на единой расчётной основе. Установлены ключевые зоны расходимости и сходимости моделей в зависимости от геомеханических параметров, что формирует научную основу для их обоснованного выбора. Предложенные критерии и конкретные рекомендации создают практический инструментарий для повышения достоверности фильтрационного моделирования углепородных массивов в заданных диапазонах напряжений и глубин.