Модель годографа электромагнитных волн, дифрагированных на локальном объекте при георадиолокационном изучении слоев горных пород криолитозоны

Введение

Одной из геофизических задач, решаемых с привлечением метода георадиолокации, является исследование физико-механических свойств горных пород. Однако накопление экспериментальных материалов и развитие методического обеспечения георадиолокации в данном направлении происходит существенно медленнее [1, 2], чем в других [3], что приводит к недооценке возможностей метода георадиолокации. Причины, приведшие к такому положению дел в георадиолокации, могут быть различные, одной из них является некорректное использование процедуры определения скорости v распространения электромагнитных волн (ЭМВ) по гиперболическим годографам (осям синфазности георадиолокационных сигналов). Данная процедура является наиболее распространенным способом оценки скорости ЭМВ [1], по результатам выполнения которой рассчитывается вещественная часть относительной комплексной диэлектрической проницаемости ε′, зависящая от влажности, плотности и криогенного состояния горных пород [4]. В учебных пособиях как отечественных [1, 2], так и зарубежных [5, 6], а также в руководствах по обработке данных производителей георадаров (GSSI, ГЕОТЕХ) и стандарте American Society for Testing and Materials (ASTM)¹ обоснование применения определения скорости распространения ЭМВ по гиперболическим годографам приводится для случая, когда вмещающая среда является однородной.

В настоящее время в практике георадиолокационных измерений [3, 7, 8], а также в научных работах, посвященных автоматизации поиска гиперболических годографов в данных георадиолокации [9–11], в том числе в режиме реального времени [12], объектом исследования является, как правило, неоднородная среда. Вследствие этого скорость распространения ЭМВ, определенная по гиперболе, находящейся в некотором слое, является усредненной (интегральной) характеристикой всех вышележащих слоев, о чем упомянуто в работе одного из классиков георадиолокации [13]. При проведении георадиолокационных исследований в области криолитозоны возможна неверная оценка криогенного состояния горных пород и, соответственно, их физико-механических свойств, в случае наличия слоя незамерзших горных пород, влияние которого на форму гиперболического годографа может быть хотя и значительным, но недостаточным для того, чтобы результат определения v по методу аппроксимации годографа гиперболой [2] оказался в диапазоне значений, характерных для талых пород. Таким образом, в многослойной среде непосредственно по гиперболическому годографу возможно определить истинную скорость v распространения ЭМВ только в первом слое горных пород, и для корректного использования значений v в практике ведения георадиолокационных работ необходимо установить закономерности формирования в слоистых породных массивах годографов ЭМВ, дифрагированных на локальном объекте. Для достижения указанной цели необходимо решить следующие задачи:

• разработать модель гиперболического годографа сигналов, получаемых при изучении слоистого породного массива;
• установить зависимость v и ε′, определяемых по гиперболическому годографу, от значений v и ε′ вышележащих слоев;
• определить влияние незамерзшего слоя в массиве мерзлых горных пород на значение v, рассчитываемое по гиперболическому годографу;
• проверить адекватность полученных теоретических результатов на данных компьютерного моделирования.

¹ ASTM D6432-11, Standard guide for using the surface ground penetrating radar method for subsurface investigation, ASTM International, West Conshohocken, PA; 2011. https://doi.org/10.1520/D6432-11

Модель гиперболического годографа георадиолокационных сигналов, получаемых при зондировании слоистого породного массива

ЭМВ, излучаемая георадаром, расположенном в точке х, распространяется в слоистом породном массиве по принципу Ферма (серая сплошная линия на рис. 1), но в данной работе рассмотрим модель распространения ЭМВ по лучу (черная пунктирная линия на рис. 1) в массиве, состоящем из n слоев мощностью h_i с заданными значениями ε′_i и v_i, при i, находящемся в диапазоне от 1 до n. Локальный объект, обозначенный черным кружком на рис. 1, расположен в последнем слое на глубине h₀. Расстояние h_л, пройденное лучом от георадара до локального объекта, будет равно:

При перемещении георадара вдоль профиля координата х будет увеличиваться, а h_л соответственно уменьшаться, формируя левую ветвь гиперболы и достигая минимума в точке х = х₀, в которой и будет расположена вершина гиперболы. При х > х₀ значения h_л будут увеличиваться и соответствовать правой ветви гиперболы. В промежуточном слое под номером i луч проходит расстояние h_лi, которое больше мощности слоя h_i во всех точках, кроме х₀:

где 

Так как в последнем слое луч проходит расстояние меньшее, чем h_n, то h_лn будет равно:

Время распространения луча в слое i:

Рис. 1. Схема модели распространения электромагнитной волны в слоистом породном массиве

Общее время t_л распространения луча от георадара до локального объекта составит:

Тогда усредненная лучевая скорость будет равна:

Уравнение гиперболического годографа в однородной среде [2]:

Для горизонтально-слоистой среды уравнение (1) примет следующий вид:

Исходя из основного тригонометрического тождества и положительности функции косинуса в области значений арксинуса преобразуем знаменатель дроби:

Тогда уравнение гиперболического годографа георадиолокационных сигналов, отраженных от локального объекта, расположенного в слоистом породном массиве, может быть представлено в виде (2). При подстановке в уравнение (2) параметров для однослойной среды оно совпадает с выражением (1):

При обработке данных георадиолокации гиперболический годограф, имеющий форму, соответствующую выражению (2), аппроксимируют гиперболой, имеющей вид согласно уравнению (1). Рассчитываемые в результате подобной аппроксимации значения скорости распространения ЭМВ являются не истинными, а кажущимися (v_каж), и представляют собой некоторое интегральное значение скоростей ЭМВ во всех вышележащих слоях. Для определения зависимости v_каж от значений v в слоях, перекрывающих локальный объект, приравняем друг к другу уравнения (1) и (2):

И выразим v_каж:

И в соответствии с известной зависимостью v = c/√ε′ (с = 300 000 км/с = 0,3 м/нс) [2] кажущаяся диэлектрическая проницаемость будет равна:

По значению v_каж невозможно оценить скорость распространения ЭМВ в горных породах конкретного слоя и может возникнуть предположение, что v каждого слоя находится в диапазоне v_каж ± Δv. Например, если при проведении георадиолокационных измерений массива многолетнемерзлых горных пород, у которых v находится в узком диапазоне 100–150 м/мкс (среднее значение v_ср ≈ 125 м/мкс) [14], v_каж будет выше 100 м/мкс, то в целом массив можно охарактеризовать как мерзлый. Однако в подобных массивах может находиться слой пород в талом состоянии, который может быть зафиксирован по данным георадиолокации, но существует проблема с его распознаванием [15], в связи с этим возникает проблема определения влияния слоя пород с низким значением v_с на v_каж.

Для решения данной проблемы воспользуемся формулой (3) и тем фактом, что v мерзлых горных пород варьируется в узких пределах, а скорость v_т распространения ЭМВ в незамерзших горных породах значительно ниже [2]. Часть массива горных пород, находящуюся в мерзлом состоянии, представим в виде слоев одинаковой толщины h_с, в каждом из которых скорость распространения ЭМВ будет равна усредненному значению v_с. Разбивать мерзлую часть массива горных пород на слои можно произвольно, так как при одинаковой v их количество и толщина не влияют на время регистрации георадиолокационных сигналов, составляющих гиперболическую ось синфазности. Толщину h_т и скорость v_т в слое талых пород представим пропорциональными h_с и v_с:

h_т = k_hh_с, v_т = k_vv_т.

После подстановки в (3) получим выражение для кажущейся скорости v_каж.т распространения ЭМВ в массиве мерзлых горных пород, содержащем слой пород в талом состоянии:

При k_h = 0 по формуле (5) v_каж.т = v_с, т.е. будет соответствовать мерзлому массиву горных пород. Для того чтобы определить, как изменится v_каж по сравнению с v_с при наличии низкоскоростного слоя талых пород, разделим формулу (3) с параметрами мерзлых пород h_с и v_с для всех слоев, обозначив ее v_каж.м, на выражение (5):

Проверка полученных теоретических выражений на данных компьютерного моделирования

Моделирование данных георадиолокации проведено в системе gprMax [16], которая положительно зарекомендовала себя в исследованиях, посвященных определению и анализу гиперболических осей синфазности георадиолокационных сигналов [17–19]. При моделировании использовались следующие параметры: зондирующий сигнал – импульс Рикера с центральной частотой Фурье-спектра 400 МГц, временная развертка – 150, база антенны – 0 мм. Данные для моделирования представлены в таблице.

Текст входного файла для gprMax для модели №1:

#domain: 4 9.1 0.002
#dx_dy_dz: 0.002 0.002 0.002
#time_window: 150e-9
#material: 6 0 1 0 sloi1
#material: 4 0 1 0 sloi2
#waveform: ricker 10 0.4e9 my_ricker
#hertzian_dipole: z 0.1 9 0 my_ricker
#rx: 0.1 9 0
#src_steps: 0.01 0 0
#rx_steps: 0.01 0 0
#box: 0 0 0 4 9 0.002 sloi1
#box: 0 0 0 4 7 0.002 sloi2
#cylinder: 2 5 0 2 5 0.002 0.01 pec

Результат моделирования (out-файл) экспортирован в формат программы GeoScan32 (производитель НПЦ ГЕОТЕХ), в которой затем установлены начало отсчета шкалы глубин и параметр База антенны, равный 1. На рис. 2, а представлены результаты моделирования (Модель №1), значения ε′каж, рассчитанной с помощью процедуры «Гипербола», и v_каж. Время регистрации сигналов, отраженных от нижней границы 1 слоя t₁ и от локального объекта – вершины гиперболы t_г, в соответствии с формулой (1) равно:

t₁ = 32,7 нс, t_г = t₁ + 26,7 = 59,4 нс.

Таблица

Параметры моделей массива горных пород

По формулам (3) и (4) v_каж и ε′_каж будут равны:

v_каж = 0,1349 м/нс = 134,9 м/мкс; ε′_каж = 4,9484.

Проверка полученных значений:

Таким образом, относительная погрешность значений v_каж и ε′_каж, рассчитанных в программе GeoScan32, составила 0,07 и 0,37 % соответственно. Для модели №2 в результате вычислений по формулам (3) и (4) получены значения v_каж = 123,7 м/мкс, ε′_каж = 5,8853.

Для проверки формулы (6) сначала проведем вычисления v_каж.м для модели массива мерзлых горных пород мощностью h₀ = 5 м, состоящей из n = 5 слоев с h = 1 м, v = 122,5, 150, 122,5, 134,2, 150 м/мкс и ε′ = 6; 4; 6; 5; 4. Согласно выражению (3) v_каж.м = 134,7 м/мкс.

Далее вместо четвертого слоя введем низкоскоростной слой (модель №3 в таблице) с такими параметрами h_т, v_т, чтобы значение v_каж.т находилось в диапазоне, характерном для мерзлых горных пород. Установим мощность незамерзшего слоя h_т = 0,5 м (при этом h₀ уменьшится до 4,5 м) как половину (k_h = 0,5) мощности усредненного слоя h_с = 1 м, а скорость распространения ЭМВ в нем в два раза меньше (k_v = 0,5), чем среднее значение ε′_с = 5, v_с = 134,2 м/мкс, т. е. v_т = 67,1 м/мкс, ε′_т = (c/v_т)² = 20. Остальные параметры моделируемого массива горных пород представлены в таблице. По формуле (3) v_каж.т = 121,2 м/мкс, что подтверждается результатом вычисления v_каж по данным компьютерного моделирования (рис. 2, в), относительная погрешность которого, по сравнению с точным значением, составила менее 0,5 %.

Рис. 2. Синтетические радарограммы моделей 1 (а), 2 (б) и 3 (в)

Теперь можно рассчитать, как изменилась кажущаяся скорость распространения ЭМВ в модели массива горных пород с введением в нее низкоскоростного слоя:

То есть при наличии низкоскоростного слоя с указанными выше параметрами v_каж уменьшается на ≈10 %. Для получения данного результата пришлось провести весь комплекс расчетов по вычислению v_каж как для полностью мерзлого массива горных пород, так и для случая со слоем незамерзших пород. Подобные расчеты можно существенно упростить, если использовать формулу (6), позволяющую с точностью до тысячных получить тот же результат:

Для подтверждения того, что формула (6) верна при разбиении мерзлой части массива горных пород на произвольное количество слоев, проведены расчеты для модели с 3 и 9 слоями. При этом будет изменяться только один параметр – k_h, так, при n = 3 (h = 2, 0,5, 2 м) k_h = 0,25, при n = 9 (мощность всех слоев – 0,5 м) k_h = 1:

В общем случае, чтобы определить, будет ли v_каж.т находиться в диапазоне значений, характерных для мерзлых пород, например, Центральной Якутии, при произвольных k_h, k_v в формулу (5) подставим усредненные значения, характерные для этого района, v_с = 125 м/мкс и v_каж.т = 100 м/мкс [14], тогда при весьма значительной разнице между v_каж.м и v_каж.т:

получим из (5):

откуда

При увеличении v_каж.т или уменьшении v_каж.м выражение (7) будет больше 0,8, а соотношение v_каж.м/v_каж.т будет уменьшаться, что приведет к затруднениям при интерпретации данных георадиолокационных измерений по определению наличия слоя незамерзших горных пород на основе анализа гиперболического годографа георадиолокационных сигналов. Оценка возможности выявления слоя незамерзших горных пород, в зависимости от величин параметров k_h, k_v по формуле (7), сделана для района Центральной Якутии, для других районов ее необходимо пересчитать с соответствующими значениями скоростей распространения ЭМВ в мерзлых и талых горных породах.

Выводы

В результате проведенного исследования разработана модель гиперболического годографа георадиолокационных сигналов, отраженных от локального объекта, расположенного в массиве горных пород, с произвольным количеством слоев. На основе разработанной модели получены выражения для кажущихся значений скорости распространения электромагнитных волн и вещественной части относительной комплексной диэлектрической проницаемости рассчитываемых по гиперболическому годографу георадиолокационных сигналов. Полученные выражения позволили установить, как снизится скорость распространения электромагнитных волн в массиве горных пород, содержащем слой незамерзших горных пород, по сравнению с полностью мерзлым массивом. Результаты теоретических исследований подтверждены сравнением с результатами анализа данных компьютерного моделирования георадиолокационных измерений в системе gprMax (относительная погрешность составила менее 0,5 %).

Полученные в ходе исследования результаты имеют большое значение для развития методического обеспечения георадиолокации по определению электрофизических свойств горных пород, что повысит достоверность оценки их физико-механических свойств, особенно в области распространения вечной мерзлоты. Практическое применение полученных результатов в исследованиях, направленных на автоматизированное определение электрофизических свойств горных пород и грунтов по гиперболическим годографам, позволит сформировать базу данных с актуальной информацией о диэлектрической проницаемости горных пород.