Стохастическая математическая модель формирования усилия резания горных пород

Введение

Для широкого внедрения методов имитационного математического моделирования и оптимизации в практику исследования и проектирования горных машин необходимо разработать достаточно общую и простую математическую модель формирования динамических составляющих нагрузок на рабочие органы при резании широкого класса горных пород. Такая модель является необходимой составной частью интегрированной математической модели (цифрового двойника) горного комбайна, которую целесообразно использовать для инженерного анализа, расчетов, симуляции рабочих процессов и оптимизации параметров машины [1].

В настоящее время достаточно полно исследованы вопросы определения средних уровней нагрузки на рабочих инструментах и энергоемкости рабочих процессов горных комбайнов и бурильных машин [2–4].

Большое внимание исследователей привлекает задача математического моделирования процесса резания пород с учетом динамических составляющих. Процесс резания имеет циклический характер, отделение породы от массива происходит отдельными порциями (сколами), которые сопровождаются разрушением образовавшегося ядра и дезинтеграцией отделенного от массива объема [4, 5]. В работах [6, 7] выполнен анализ осциллограмм усилия резания и установлено, что усилие резания за время одного скола изменяется по линейному закону и может быть представлено в виде импульса треугольной формы. Этот вывод подтверждается результатами многочисленных экспериментальных исследований процесса резания, проведенными разными авторами [8–10].

В работе [11] рассмотрена модель, в которой характер распределения давления в зоне контакта резца и породы обусловлен упругими деформациями под резцом и необратимыми деформациями, связанными с раздавливанием породы в этой области вследствие образования зоны предразрушенной поверхности. При этом возникновение сколов породы, имеющее место в дискретные моменты, является одной из причин наблюдаемого осциллирующего характера изменения составляющих силы резания.

В настоящее время появилось большое количество работ, в которых процесс резания горной породы моделируется с использованием различных вариантов метода конечных элементов [12–14]. Используются собственно метод конечных элементов (FEM) [15], метод граничных элементов (BEM) [14], метод дискретных элементов (DEM) [16–18], комбинированные методы (FDEM и др.) [14]. Эти методы позволяют с большей или меньшей точностью выполнять имитационное моделирование процессов резания горных пород. В то же время они имеют определенные сложности применения для расчетов горных машин. Все методы этого типа содержат большое количество параметров (примерно 10–20), определение которых расчетным или экспериментальным путем затруднено, причем некоторые параметры можно оценить только путем идентификации (калибровки модели). Этот процесс достаточно трудоемкий и требует наличия значительного объема экспериментальных данных. Реализация таких моделей предполагает использование дорогих коммерческих программных продуктов (ANSYS, LS-DYNA, ABAQUS и др.) зарубежных разработчиков.

Процесс резания горных пород является случайным по своей природе, поскольку структура и механические свойства пород в функции пути резания изменяются случайным образом [4–6]. Следовательно, математическая модель процесса резания должна быть стохастической. Определение параметров таких моделей требует большого объема экспериментальных исследований. Отсюда вытекает требование минимизации количества параметров, требующих экспериментального определения или идентификации. Необходим разумный компромисс между количеством учитываемых в модели факторов, возможностью достоверно определить количественные значения соответствующих параметров и требованиями к точности воспроизведения случайных динамических составляющих нагрузки.

Как известно [3, 4], нагрузка на рабочий инструмент при резании углей и горных пород представляется в виде трех составляющих – сил резания, подачи и боковой силы. Для моделирования динамических процессов в силовых системах горных комбайнов наибольшее значение имеют динамические составляющие силы резания. Под их влиянием формируются динамические нагрузки в приводе машины, в спектральном составе которых существенное место занимают составляющие с частотами до 40–50 Гц [4, 19, 20]. Поэтому для практических целей в большинстве случаев нет необходимости точно моделировать спектральный состав силы резания на рабочем инструменте в зоне частот свыше 40–50 Гц.

Важно отметить, что при формировании случайных динамических нагрузок в силовых системах горного комбайна практически не имеет значения вид закона распределения силы резания на одиночном резце. Закон распределения нагрузки от нескольких резцов (в современных комбайнах до нескольких десятков) согласно центральной предельной теореме теории вероятностей приближается к нормальному закону вне зависимости от закона распределения нагрузки на каждом резце.

Таким образом, существуют предпосылки создания достаточно простых алгоритмических моделей, позволяющих с необходимой точностью моделировать случайные нагрузки, возникающие в процессе резания углей и пород.

Цель работы – повышение качества проектирования и эффективности эксплуатации горных комбайнов за счет разработки простой в применении стохастической математической модели процесса резания горных пород как составной части интегрированной математической модели (цифрового двойника) горного комбайна, используемой для инженерного анализа, расчетов, симуляции рабочих процессов и оптимизации параметров машины.

Для достижения поставленной цели решены следующие задачи:

• разработана стохастическая математическая модель процесса резания как потока случайных событий – единичных актов нагружения и разрушения горного массива, требующая идентификации всего 2–3 параметров (вместо 10–20, необходимых для моделей на основе различных вариантов метода конечных элементов);
• проведены экспериментальные исследования процесса резания очистным комбайном полноразмерного угле-цементного блока, в результате которых получены реализации сил резания на радиальном резце в различных режимах;
• выполнена статистическая обработка экспериментальных данных, идентификация параметров модели и установлена адекватность модели реальному процессу.

Теория. Математическая модель

В настоящей работе процесс резания породы рабочим инструментом горной машины предлагается представлять в виде потока случайных событий – единичных актов нагружения некоторого объема горного массива. Акт нагружения завершается отделением элемента от массива и его дезинтеграцией. Интервал между единичными актами нагружения (во времени или в пространстве) является случайной величиной. Усилия Z_i, возникающие при взаимодействии режущего инструмента с породой в _i-м единичном акте нагружения, предлагается представить в виде импульсов в общем случае треугольной формы со случайными параметрами:

где Δx_i(t) – упруго-пластические деформации рассматриваемого объема породы в данном единичном акте нагружения; C_пi – линеаризованный коэффициент псевдожесткости¹ породы, который характеризует сопротивление разрушаемой среды при внедрении в нее режущего инструмента; P_скi – усилие, при котором происходит хрупкое разрушение и отделение рассматриваемого объема породы.

Графически идеализированная зависимость (1) представлена на рис. 1.

Рис. 1. Идеализированная зависимость усилия резания от деформации Δx_i

Параметры C_пi и P_скi в общем случае зависят от свойств разрушаемой породы, геометрии рабочего инструмента и параметров процесса резания. Строго говоря, они являются случайными величинами, изменяющимися от одного единичного акта нагружения к другому. Статистические характеристики C_пi определяются на стадии параметрической идентификации разработанных математических моделей или в процессе специальных экспериментальных исследований процесса резания. Параметр P_скi определяется иначе, поскольку существуют надежные и общепризнанные методики расчета среднего уровня нагрузки на резце. В этом случае усилие P_скi для каждого единичного акта нагружения выбирается таким образом, чтобы обеспечить заданный средний уровень нагрузки при моделировании.

При моделировании сил резания в качестве аргумента следует рассматривать путь, пройденный резцом между моментами времени начала двух последовательных актов разрушения. Интенсивность потока случайных событий (сколов) λ представляет собой среднее количество сколов на 1 м пути резания. В литературе приведены сведения о значениях λ для углей и некоторых пород [4]. Параметр λ приближенно может быть определен по осциллограмме сил резания путем подсчета среднего количества максимумов, соответствующих единице пути резца.

Для моделирования сил резания углей предлагается следующая зависимость, полученная нами при обобщении результатов эксперимента при резании угле-цементного блока резцами ЗР4-80 в составе комбайна РКУ-13 и данных работы [4]:

где Z_ср – математическое ожидание усилия резания, Н.

Для сокращения количества идентифицируемых параметров модели рассмотрены потоки событий, для которых интервалы времени (или пути Δl ) распределены по однопараметрическим законам. Для пуассоновского потока интервал между событиями является случайной величиной, распределенной по показательному закону с функцией распределения:

Другим однопараметрическим распределением является рэлеевское, имеющее вид:

где σ₀ – параметр распределения, который определяется по выражению σ₀ = 0,798/λ.

Для оценки возможности использования указанных законов проведена обработка осциллограмм усилия резания, полученных при экспериментальных исследованиях комбайна РКУ-13 на стенде с угле-цементным блоком [20, 21]. На рис. 2 в качестве примера приведена гистограмма распределения интервала между сколами при резании угле-цементного блока резцом ЗР4-80 в составе комбайна РКУ-13.

Рис. 2. Гистограмма распределения интервалов между сколами
(по данным натурного эксперимента, 77 сколов)

Как показывают результаты статистической обработки экспериментальных данных, закон распределения интервалов между единичными актами достаточно сложен и плохо описывается известными теоретическими законами. Для приближения показательного распределения к реальным условиям необходимо ограничить сверху и снизу диапазон возможных значений случайной величины Δl таким образом, чтобы сохранить неизменным ее математическое ожидание, равное 1/λ. Нижняя граница диапазона lн определяется по выражению l_н = 1/(λK_н), где K_н – коэффициент, показывающий, во сколько раз минимальное расстояние между последовательными актами меньше его математического ожидания. Этот параметр может быть оценен по осциллограмме процесса путем определения минимального расстояния между максимумами силы резания. При этом предполагается, что скорость резания примерно постоянна. Применительно к процессу резания угле-цементного блока нами получено значение K_н = 2,0.

Верхняя граница l_в определяется из условия равенства математического ожидания (м.о.) усеченного закона распределения величине 1/ λ. Функция распределения ограниченной сверху и снизу случайной величины имеет вид

Приравняв м.о. указанной случайной величины к 1/ λ, получим трансцендентное уравнение для определения верхней границы l_в:

Тривиальное решение l_в = l_н не рассматривается, уравнение решается одним из численных методов. Например, при λ = 68 м−1 и Kн = 2,0 получаем l_н = 7,4 мм, l_в = 25,9 мм. Как видно из рис. 2, найденные граничные значения l_н и l_в охватывают практически весь диапазон изменения случайной величины Δl.

На рис. 3 приведены дифференциальные функции распределения случайной величины Δl для трех рассмотренных выше вариантов.

Рис. 3. Дифференциальные функции распределения интервалов между сколами: 1 – показательный закон; 2 – усеченный показательный; 3 – рэлеевский

При компьютерном моделировании процесса интервал между последовательными актами разрушения для первого варианта определяется как случайная величина² [22]

где ν – случайная величина, равномерно распределенная в интервале [0, 1].

При втором варианте из полученных по выражению (7) значений Δl_i оставляются только те, которые удовлетворяют неравенству

В качестве третьего варианта рассматривалась имитационная модель, в которой интервал между единичными актами разрушения описывается рэлеевским распределением. При моделировании процесса на ЭВМ величина интервала определяется по выражению [21]

где ξ₁ и ξ₂ – значения независимых нормально распределенных случайных величин с нулевым математическим ожиданием и дисперсией, равной 1.

Положение резца в момент начала i-го единичного акта для всех вариантов определяется как

Упруго-пластические деформации рассматриваемого объема породы Δxi(t) в данном единичном акте нагружения:

где l(t) – путь, пройденный резцом за время t (координата резца).

Максимальная деформация рассматриваемого элементарного объема в момент хрупкого разрушения равна ΔX = P_скi /C_пi. Для упрощения модели допускаем, что величины C_пi и P_скi являются детерминированными, причем при заданном среднем уровне нагрузки эти величины во всех единичных актах нагружения одинаковы и равны C_п и P_ск.

В качестве аргумента при определении требуемых параметров используем средний уровень усилия резания, который может быть определен по известным методикам [2–4].

Усилие резания на резце в каждый момент времени определяется как сумма усилий, формирующихся в каждом единичном акте разрушения

где N₁, N₂ – порядковые номера первого и последнего из начавшихся, но еще не завершившихся единичных актов разрушения. Процедура суммирования усилий, возникающих в каждом единичном акте разрушения, проиллюстрирована на рис. 4.

Рис. 4. Суммирование усилий, возникающих в каждом единичном акте разрушения

Для предлагаемой модели силы резания математическое ожидание реализации случайного процесса произвольной длины L определяется как отношение площади фигуры, ограниченной ломаной линией, приведенной на рис. 4, к длине L. Эта площадь равна сумме площадей элементарных треугольников, количество N которых равно количеству произошедших на рассматриваемом участке траектории элементарных актов нагружения. Площадь каждого треугольника S_т = 0,5P_ск² / Cп. Таким образом, математическое ожидание силы резания

Учитывая, что λ = N/L, окончательно получим выражение, позволяющее устанавливать параметры единичного акта разрушения в зависимости от известного среднего значения (м.о.) силы резания:

Укрупненная блок-схема алгоритма моделирования силы резания горной породы представлена на рис. 5.

Рис. 5. Блок-схема алгоритма моделирования силы резания

¹ Приставка псевдо- применена для того, чтобы подчеркнуть упруго-пластический характер возникающих деформаций.

² Бакалов В. П. Цифровое моделирование случайных процессов. Учебное пособие. М.: Изд-во МАИ; 2001. 84 с.

Результаты

Предлагаемая имитационная модель включает два основных исходных параметра λ и C_п, которые могут быть определены в процессе специальных экспериментов или в процессе параметрической идентификации разработанных математических моделей конкретных горных машин. Кроме того, модель по варианту 2, в которой использован усеченный показательный закон распределения интервалов между сколами, содержит еще параметр K_н.

Экспериментальные исследования процесса резания проводились на очистном комбайне РКУ-13, оснащенном тензометрическими измерительными кулаками для измерения трех составляющих сил взаимодействия радиального резца с породой [20]. Измерения производились при разрушении комбайном полноразмерного угле-цементного блока со средней сопротивляемостью резанию 210 Н/мм при различных скоростях перемещения машины.

Для приближения к условиям эксперимента при моделировании среднее значение силы резания принималось равным экспериментальному значению, причем в течение одного реза среднее значение силы резания изменялось от нуля до максимума и опять до нуля по синусоидальному закону. При общей продолжительности одного реза 0,75 с обрабатывались участки реализаций из временного интервала 0,175–0,575 с. Осциллограммы пяти последовательных резов как в натурном, так и в вычислительном экспериментах присоединялись друг к другу, образуя составную реализацию продолжительностью 2 с. Для спектрального анализа составные реализации составлялись из исходных после выделения тренда. Полученные в результате составные реализации обладают свойством стационарности и достаточно продолжительны по времени, что делает более обоснованной гипотезу эргодичности. Эти реализации подвергались статистической обработке, в результате которой получены оценки математического ожидания, среднеквадратического отклонения, гистограммы распределения и спектральной плотности случайного процесса.

Моделирование силы резания производилось по описанному выше алгоритму для трех вариантов закона распределения случайной величины интервалов между сколами: показательного (вариант 1), усеченного показательного (вариант 2) и рэлеевского (вариант 3). Наилучшее соответствие данным натурного эксперимента показали результаты моделирования по варианту 2. На рис. 6 представлены фрагменты осциллограмм, полученных в натурном и вычислительном экспериментах по варианту 2.

Результаты статистической обработки данных натурного и вычислительного экспериментов (для вариантов 2 и 3) приведены в таблице. При этом рассматривались два режима с существенно различными средними значениями сил резания.

Таблица

Сила резания, кН, в вычислительных и натурных экспериментах

Рис. 6. Фрагменты осциллограмм натурного (а) и вычислительного (б) экспериментов

Рис. 7. Гистограммы распределения силы резания в натурном (а) и вычислительном (б) экспериментах при среднем уровне нагрузки 5,67 кН

Рис. 8. Графики оценок нормированных спектральных плотностей усилия резания

На рис. 7 приведены гистограммы распределения силы резания по результатам натурных и вычислительных (с использованием варианта 2) экспериментов.

На рис. 8 приведены графики оценок нормированных спектральных плотностей составных реализаций силы резания, полученных в натурном и вычислительном экспериментах.

Как следует из рис. 8, дисперсии случайных процессов изменения усилия резания в натурном и вычислительном экспериментах по частотам колебаний распределены примерно одинаково в частотном диапазоне от 0 до 100 Гц.

Обсуждение и выводы

Анализ таблицы показывает, что самые малые погрешности характерны для модели по варианту 2 (не более 7 % для математического ожидания и среднеквадратического отклонения и 15 % для максимального значения). Приемлемую погрешность обеспечивает также использование модели по варианту 3 (соответственно 18 и 29 %).

Разработанная модель по варианту 2 обеспечивает хорошее совпадение гистограмм распределения усилия резания с экспериментом (см. рис. 7). Как видно из рис. 8, спектральный состав силы резания в вычислительном эксперименте также близко совпадает с экспериментальными данными.

Проведенная оценка адекватности математической модели показывает, что разработанная стохастическая модель формирования силы резания (вариант 2) обеспечивает хорошую сходимость с экспериментальными данными по значениям статистических характеристик, гистограмме распределения и спектральному составу при двух представительных значениях среднего уровня нагрузки. Модель по варианту 3 дает несколько большую погрешность, однако она обладает существенным преимуществом – требует для использования только 2 параметра – λ и C_п.

Погрешность моделирования при использовании разработанной математической модели не превышает соответствующих погрешностей, возникающих при использовании различных вариантов метода конечных элементов и дорогостоящих коммерческих программных продуктов преимущественно зарубежных разработчиков. Например, погрешность 3D-моделирования с использованием метода DEM по данным работы [16] для среднеквадратического отклонения силы резания песчаника превышает 22 %.

Учитывая простоту предложенной математической модели и приемлемый уровень ее адекватности реальным процессам, представляется целесообразным использование апробированных подходов при разработке стохастической математической модели резания прочных грунтов рабочими органами землеройных машин, а также моделирования рабочего процесса дробильных машин [22].

Таким образом, разработаны три варианта стохастической математической модели процесса резания горных пород. Они включают небольшое количество параметров (2 или 3), не требуют использования дорогостоящих коммерческих программных продуктов и обладают достаточной степенью адекватности реальному процессу.

В наибольшей степени требованиям адекватности отвечает имитационная модель (вариант 2), в которой интервалы между единичными актами нагружения распределены по усеченному показательному закону. Погрешность моделирования силы резания на отдельном резце по математическому ожиданию и среднеквадратическому отклонению не превышает 7 %, а по максимальному значению – 15 %. При этом наблюдается хорошее соответствие гистограмм распределения и графиков спектральной плотности силы резания, полученных при обработке данных натурного и вычислительного экспериментов.

Предложенная математическая модель процесса резания горной породы может быть использована в качестве составной части интегрированной математической модели (цифрового двойника) горного комбайна для инженерного анализа, расчетов, симуляции рабочих процессов и структурно-параметрической оптимизации машин на стадии их проектирования. Предлагаемое представление процесса разрушения породы в виде потока случайных событий (единичных актов разрушения) целесообразно использовать при математическом моделировании процесса резания прочных грунтов рабочими органами землеройных машин, а также для моделирования рабочего процесса дробильных машин.